Quadratische Funktionen - Extremwertaufgaben, Matheaufgaben

Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können, Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben im Sachzusammenhang

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Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?

#1117

Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x_S die x-Koordinate und y_S die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x_S das Maximum bzw. Minimum y_S.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.

Wie leitet man die allgemeine Form einer Parabelgleichung aus der Scheitelpunktform ab?

#911

Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − x_S)² + y_S
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c

Beispiel

Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:

−

Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?

#436

Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x₁ und x₂ schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:

x_S = (x₁ + x₂) : 2
Begründung: x_S (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x₁ ; x₂]
y_S = p(x_S)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x_S in den Funktionsterm der Parabel

Beispiel 1

Bestimme Art, Größe und Lage des Extremwerts.

−

2,5

Beispiel 2

Die Parabel mit der Gleichung

−

schneidet die x-Achse an den Stellen

−

und

. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.

Welche Formen einer Parabelgleichung gibt es und wie wandelt man diese um?

#236

Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen

Allgemeiner Form y = ax² + bx + c ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
Scheitelpunktform y = a (x - x_S)² + y_S ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel

Bringe

−

in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.

Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?

#658

Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:

Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen

Beispiel

Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.

Wie lautet die Gleichung einer Parabel in Scheitelform, wenn die allgemeine Form y = ax² + bx + c und der Scheitel S(s ; t) gegeben sind?

#432

Eine Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c (Allgemeine Form) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung y = a (x − s)² + t (Scheitelpunktform) ausdrücken.