Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken, Matheaufgaben

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, u.a. mit Lösungsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können

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Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt
36

cm
2

ist eine Seite dreimal so lang wie die andere. Die Seitenlängen sind

cm

und

cm

lang.

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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Wie funktioniert das Faktorisieren mit dem Rechteckmodell und wann wird es angewendet?

#669

Faktorisieren mit dem Rechteckmodell (Satz von Vieta)

Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:

Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
"Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.

Beispiel

Löse die quadratische Gleichung, indem du zunächst den quadratischen Term faktorisierst. Das Rechteck-Modell kann helfen.

10x

−

Wie wendet man die pq-Formel auf eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1 an?

#563

Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.

Beispiel

Löse die Gleichung

−

10x

Was ist die pq-Formel und wofür wird sie verwendet?

#562

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel

Löse die Gleichung

−

Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?

#222

Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel

Löse die Gleichung:

−

Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?

#486

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Beispiel

Löse die Gleichung

−

Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?

#242

Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn

x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
→ nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
→ alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern

Beispiel

Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):

−

Was besagt der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen?

#476

Satz von Vieta: Die quadratische Gleichung in Normalform

x² + px + q = 0

besitzt die beiden Lösungen x₁ und x₂, falls

x₁ + x_{2 = −p und}
x₁·x_{2 = q}

Beispiel

Löse mit Hilfe des Satzes von Vieta:

−

Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.

#433

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form

(x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
(x − 3)² = 0 nur die Lösung 3

Beispiel

Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?

#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel

Löse durch Faktorisieren:

−

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