Stochastik - Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung, Matheaufgaben

Zusammenhang von n, p, μ und σ bei binomialverteilten Zufallsgrößen; Bestimmung von p aus dem Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens σ, 2σ usw. vom Erwartungswert abweicht - 16 Aufgaben in 5 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

    • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
    • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
    • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

    Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

    • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
    • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
    • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

    Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 5
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    • Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
    Gib ein Intervall an, in dem sicher 99% der Werte von X liegen.
     
    ≤ X ≤
     
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Stoff zum Thema
Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel 1

Die Zufallsgröße \(X\) sei binomialverteilt. Bestimme ...

a) ... \(n\) und \(\sigma\) für \(\mu=12\) und \(p=\frac{1}{4}\text{.}\)

b) ... \(n\) und \(p\) für \(\mu=40\) und \(\sigma=\sqrt{24}\text{.}\)

Beispiel 2
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
P
 
μ
−
2σ
 
≤
 
X
 
≤
 
μ
+
2σ
 
≈
 
?%
Beispiel

Das Diagramm beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\text{.}\) Bestimme \(p\text{.}\)

a) 

\((n=2)\)

b) 

\((n=4)\)

Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?
#706

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

  • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
  • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
  • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

  • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
  • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
  • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.

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