Stochastik - bedingte Wahrscheinlichkeit, Matheaufgaben

Anwenden der Pfadregeln, Unterscheidung zwischen unbedingter und bedingter Wahrscheinlichkeit, Berechnung (bedingter) Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagramm und Vierfeldertafel

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Drei Freundinnen unterhalten sich über Jungs. Vor allem geht es um die beiden Attribute H: "ist hübsch" und B: "hat was in der Birne". Aus ihren persönlichen Erfahrungen heraus schätzen sie die Wahrscheinlichkeit, dass...
ein hübscher Junge nichts in der Birne hat.

ein Typ, der nichts in der Birne hat, wenigstens hübsch ist.

ein Junge, den man zufällig kennenlernt, hübsch und intelligent zugleich ist.

ein Junge, der nichts in der Birne hat, nicht mal hübsch ist.

ein Typ, der einem zufällig über den Weg läuft, zwar hübsch ist aber nichts in der Birne hat.
P

B

∩ H

entspricht Nr.

P

B

H

entspricht Nr.

P

B

H

entspricht Nr.

P

B ∩ H

entspricht Nr.

P
H

B

entspricht Nr.
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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Kanal: Mathegym

Was versteht man unter den Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P_A(B) und P_B(A), wo treten sie im Baumdiagramm auf und wie berechnet man sie?

#377

Unterscheide sorgfältig zwischen

P(A ∩ B)
= Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt; im Baumdiagramm steht sie am Ende des A - B - bzw. B - A - Pfades.
P_A(B)
= Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von A zu B führt.
= P(A ∩ B) / P(A)
P_B(A)
= Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass auch B eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von B zu A führt.
= P(A ∩ B) / P(B)

Beispiel

Betrachte die Ereignisse B = "Person trägt Brille" und K = "Person ist kurzsichtig". Drücke mit Worten aus und markiere in einem Baumdiagramm:

B ∩ K

Welche Werte stehen in einer Vierfeldertafel und was sagen die Randwerte sowie das Feld unten rechts aus?

#381

In der Vierfeldertafel können absolute Häufigkeiten (natürliche Zahlen) oder relative Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten (Dezimalbrüche) gegenübergestellt werden.

Alle vier Felder ergeben in der Summe die Gesamtzahl der Stichproben (absolute Häufigkeiten) bzw. 1 (realive Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten). Diese steht ganz unten rechts.

Neben den vier eigentlichen Feldern sind die Randfelder zu beachten. Hier handelt es sich um die Summen der jeweiligen Zeilen bzw. Spalten.

Beispiel

Ergänze die Vierfeldertafel:

(a) absolute Häufigkeiten

150

(b) relative Häufigkeiten

0,17

0,83

0,15

Was sind die drei Pfadregeln in einem Baumdiagramm?

#379

In einem Baumdiagramm gelten folgende Pfadregeln:

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ergibt sich durch Multiplikation der Ast-Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads (Produktregel).
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu dem Ereignis führen (Summenregel).
Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ergeben in der Summe 1 (Verzweigungsregel).

Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P(A) und P_A(B) in einer Vierfeldertafel bestimmen?

#378

Ermittle in der Vierfeldertafel:

P(A ∩ B) =

Wahrscheinlichkeit in der Zelle, in der sich A- und B-Streifen überschneiden

P(A) =

Wahrscheinlichkeit am Rand des A-Streifens oder
Summe der Wahrscheinlickeiten von P(A ∩ B) und P(A ∩ B)

P_A(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =

P(A ∩ B) / P(A); die bedingte Wahrscheinlichkeit kann also in der Vierfeldertafel nicht direkt abgelesen, aber leicht berechnet werden.

Beispiel

Bestimme die gefragten Wahrscheinlichkeiten:

108

133

121

150

A ∩

;

Wie liest oder ermittelt man die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(A ∩ B) und P_A(B) in einem Baumdiagramm?

#380

Ermittle im Baumdiagramm:

P(A) =

Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der vom Startpunkt zum Ereignis A führt oder
Summe der Wahrscheinlickeiten aller Pfade, die zu A führen (Verzweigungsregel)

P(A ∩ B) =

Wahrscheinlichkeit des Pfades, der über A und B bzw. über B und A führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt.

P_A(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =

Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der von A zu B führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist).

Beispiel

Ergänze die fehlenden Ast- und Pfadwahrscheinlichkeiten und lies dann die gefragten Wahrscheinlichkeuten ab:

∩

Beispiel

Von den 36 Frauen, die ohne Begleitung zu einer Single-Party kommen, sind fünf in Wirklichkeit schon in festen Händen. Jede sechste Frau auf der Party sieht nach Jans Meinung "toll" aus. Was er nicht weiß: Nur zwei von den "Tollen" sind noch zu haben. Bei einem Spiel wird Jan mit einer zufällig ausgewählten Frau bekannt gemacht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass