Stochastik - Laplace-Wahrscheinlichkeit, Matheaufgaben

Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Experimenten, u.a. mit Hilfe des Zählprinzips bestimmen

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Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Verwende dazu das Gegenereignis.

Ein Glücksrad mit fünf verschieden großen Feldern, die farbig markiert sind, wird gedreht.

Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

Farbe

rot

grün

gelb

blau

weiß

Wahrscheinlichkeit

25%

15%

20%

35%

Die Wahrscheinlichkeit für "nicht rot" beträgt:

Notizfeld

Tastatur

Tastatur für Sonderzeichen

Checkos: 0 max.

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Laplace-Experiment

Kanal: Mathegym

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Zählprinzip

Kanal: Mathegym

Was versteht man unter einem Gegenereignis und welche häufige Verwechslung gibt es dabei?

#169

Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

Beispiel

Beim Würfeln mit zwei Würfeln gelten folgende gerundete Wahrscheinlichkeiten:

Augensumme

Wahrscheinlichkeit

2,8%

5,6%

8,3%

11,1%

13,9%

16,6%

13,9%

11,1%

8,3%

5,6%

2,8%

Berechne die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme ist mindestens 4".

Was versteht man unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

#417

Bei vielen Zufallsexperimenten haben wir eine konkrete Erwartung, wie oft ein bestimmtes Ergebnis eintreten wird, wenn wir das Experiment mehrmals durchführen. Dieser Anteil wird durch die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ergebnis ausgedrückt.

Beispiel

Wahrscheinlichkeit für "Augensumme 2" beim Würfeln?

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiment?

#447

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Was ist P(E) in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wie bestimmt man diesen Wert?

#165

Jedes Ereignis E hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P(E). Hierbei handelt es sich um einen Wert zwischen 0 und 1 (oder 0% bis 100%). Auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man schließen

durch Überlegung: Beim Würfeln mit einem normalen Würfel z.B. hat "Augenzahl 5" die Wahrscheinlichkeit 1/6 (ca. 16,7%).
durch Statistik: Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt hat, legt die relative Häufigkeit eines Ereignisses dessen Wahrscheinlichkeit nahe.

Was ist ein Elementarereignis und wie ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse?

#166

Jedes Ergebnis ω der Ergebnismenge Ω kann als Ereignis {ω} (sogenanntes Elementarereignis) mit der Wahrscheinlichkeit P({ω}) aufgefasst werden.

Die Wahrscheinlichkeiten von allen Elemetarereignissen ergeben addiert immer 1 (=100%).

Was ist ein Laplace-Experiment und wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses?

#167

Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn alle Elementarereignisse (also Ergebnisse) gleich wahrscheinlich sind. Es hängt letztlich von der gewählten Ergebnismenge ab, ob man von einem Laplace-Experiment sprechen kann oder nicht.

Liegt ein solches vor und ist n die Mächtigkeit der Ergebnismenge (also die Anzahl aller Ergebnisse), so hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/n.

Wie wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment berechnet?

#159

Bei einem Laplace-Experiment mit Ergebnisraum Ω berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel:

P(E) = |E| : |Ω|

"Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse"

Wie kann das Zählprinzip bei mehrstufigen Zufallsexperimenten angewendet werden? Erkläre dies an einem Beispiel.

#168

Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen zusammen (z.B. dreimal hintereinander Würfeln oder sechs Kugeln hintereinander aus einer Urne ziehen) und hängt die Anzahl der Möglichkeiten auf jeder Stufe nicht davon ab, was auf einer vorangegangenen Stufe gezogen wurde, so lässt sich die Anzahl aller Versuchsausgänge mit dem sogenannten Zählprinzip bestimmen: Betrachte dazu auf jeder Stufe die Anzahl der Möglichkeiten und multipliziere diese Zahlen miteinander.

Oft entstehen hierbei Produkte der Art n·(n-1)·(n-2)·...·2·1; dafür gibt es die abkürzende Schreibweise n! ("n-Fakultät").

Beispiel

Eine vierstellige Zahl soll durch einen Zufallsgenerator erzeugt werden, wobei folgende Vorgaben gemacht werden: an der ersten und dritten Stelle muss eine gerade Ziffer stehen, an der zweiten Stelle eine durch 3 teilbare Ziffer und an letzter Stelle eine Ziffer kleiner als 7. Wie viele Ergebnisse sind möglich?

Wann ist ein Baumdiagramm nützlich, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?

#858

Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen zusammen, ist ein Baumdiagramm oft eine hilfreiche Darstellung. Wenn jeder Pfad des Baumdiagramms mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt, kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der Laplace-Formel berechnen.

Beispiel

Ein Gymnasium bietet am Tag der offenen Tür für Grundschüler verschiedene Schnupperkurse an. Zunächst werden jedem Teilnehmer zwei der drei Kernfächer Mathematik, Deutsch oder Englisch zugelost. Anschließend wird jeder Teilnehmer zufällig in einen Musik- oder Kunst-Kurs eingeteilt. Miriams Lieblingsfächer sind Englisch und Kunst. Sie interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: "Sie wird mindestens in einen der Englisch- oder Kunst-Kurse eingeteilt."

Zeichne ein Baumdiagramm mit allen möglichen Fällen. Bestimme anschließend P(E).

Wofür wird das Zählprinzip in der Mathematik verwendet?

#160

Das Zählprinzip hilft nicht nur bei der Bestimmung von |Ω|, sondern oft auch bei der Berechnung von |E|, also der Mächtigkeit eines bestimmten Ereignisses.

Beispiel

In einer Urne befinden sich eine schwarze, zwei rote und vier weiße Kugeln. Drei Kugeln werden hintereinander - mit Zurücklegen - blind gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine weiße darunter?