Stochastik - bedingte Wahrscheinlichkeit, Matheaufgaben

Anwenden der Pfadregeln, Unterscheidung zwischen unbedingter und bedingter Wahrscheinlichkeit, Berechnung (bedingter) Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Bestimme zunächst die Ast- und Pfadwahrscheinlichkeiten im abgebildeten Baumdiagramm und mit deren Hilfe dann die gefragten Wahrscheinlichkeiten.

  • Im Jahr 200X waren in Deutschland ungefähr 0,1 % der Bevölkerung mit HIV infiziert ("I" im unteren Baum). Mit Hilfe eines HIV-Tests kann festgestellt werden, ob eine Infektion vorliegt. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis "positiv", unabhängig davon, ob die Krankheit tatsächlich vorhanden ist oder nicht. Bei einer mit HIV infizierten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9 %, dass der Test positiv ausfällt. Wenn eine Person nicht infiziert ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,7 %, dass der Test "negativ" ausfällt. (Quelle: ISB)
    graphik
    Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
    (A) eine Person, deren Testergebnis positiv ist, tatsächlich infiziert ist.
    (B) eine Person, die nicht infiziert ist, laut Test positiv ist.
    (C) eine Person infiziert ist und der Test ein negatives Ergebnis liefert.
    P
     
    A
    =
         
    P
     
    B
    =
         
    P
     
    C
    =
    Notizfeld
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Kanal: Mathegym
Was versteht man unter den Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P_A(B) und P_B(A), wo treten sie im Baumdiagramm auf und wie berechnet man sie?
#377
Unterscheide sorgfältig zwischen
  • P(A ∩ B)
    = Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt; im Baumdiagramm steht sie am Ende des A - B - bzw. B - A - Pfades.

  • PA(B)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von A zu B führt.
    = P(A ∩ B) / P(A)

  • PB(A)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass auch B eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von B zu A führt.
    = P(A ∩ B) / P(B)
Beispiel
Betrachte die Ereignisse B = "Person trägt Brille" und K = "Person ist kurzsichtig". Drücke mit Worten aus und markiere in einem Baumdiagramm:
P
 
B ∩ K
 
    
 
P
B
 
K
 
    
 
P
K
 
B
Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P(A) und P_A(B) in einer Vierfeldertafel bestimmen?
#378
Ermittle in der Vierfeldertafel:

P(A ∩ B) =

  • Wahrscheinlichkeit in der Zelle, in der sich A- und B-Streifen überschneiden
P(A) =
  • Wahrscheinlichkeit am Rand des A-Streifens oder
  • Summe der Wahrscheinlickeiten von P(A ∩ B) und P(A ∩ B)
PA(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =
  • P(A ∩ B) / P(A); die bedingte Wahrscheinlichkeit kann also in der Vierfeldertafel nicht direkt abgelesen, aber leicht berechnet werden.

Beispiel
Bestimme die gefragten Wahrscheinlichkeiten:
A
A
B
4
13
17
B
25
108
133
29
121
150
P
 
A ∩
 
B
=
?
;
P
 
A
=
?
;
P
B
 
A
=
?
Welche Werte stehen in einer Vierfeldertafel und was sagen die Randwerte sowie das Feld unten rechts aus?
#381

In der Vierfeldertafel können absolute Häufigkeiten (natürliche Zahlen) oder relative Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten (Dezimalbrüche) gegenübergestellt werden.

Alle vier Felder ergeben in der Summe die Gesamtzahl der Stichproben (absolute Häufigkeiten) bzw. 1 (realive Häufigkeiten / Wahrscheinlichkeiten). Diese steht ganz unten rechts.

Neben den vier eigentlichen Feldern sind die Randfelder zu beachten. Hier handelt es sich um die Summen der jeweiligen Zeilen bzw. Spalten.

Beispiel
Ergänze die Vierfeldertafel:
(a) absolute Häufigkeiten
A
A
B
4
13
B
25
150
(b) relative Häufigkeiten
A
A
B
0,17
0,83
B
0,15
 
Was sind die drei Pfadregeln in einem Baumdiagramm?
#379
In einem Baumdiagramm gelten folgende Pfadregeln:
  1. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ergibt sich durch Multiplikation der Ast-Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads (Produktregel).
  2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu dem Ereignis führen (Summenregel).
  3. Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ergeben in der Summe 1 (Verzweigungsregel).
Wie liest oder ermittelt man die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(A ∩ B) und P_A(B) in einem Baumdiagramm?
#380
Ermittle im Baumdiagramm:

P(A) =

  • Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der vom Startpunkt zum Ereignis A führt oder
  • Summe der Wahrscheinlickeiten aller Pfade, die zu A führen (Verzweigungsregel)
P(A ∩ B) =
  • Wahrscheinlichkeit des Pfades, der über A und B bzw. über B und A führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt.
PA(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =
  • Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der von A zu B führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist).
Beispiel
Ergänze die fehlenden Ast- und Pfadwahrscheinlichkeiten und lies dann die gefragten Wahrscheinlichkeuten ab:
graphik
P
A
 
B
=
?
P
 
B
=
?
P
 
A
 
∩
 
B
=
?
Beispiel
Von den 36 Frauen, die ohne Begleitung zu einer Single-Party kommen, sind fünf in Wirklichkeit schon in festen Händen. Jede sechste Frau auf der Party sieht nach Jans Meinung "toll" aus. Was er nicht weiß: Nur zwei von den "Tollen" sind noch zu haben. Bei einem Spiel wird Jan mit einer zufällig ausgewählten Frau bekannt gemacht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • eine tolle Frau noch zu haben ist? (= p1)
  • Jan die Frau toll findet? (= p2)
  • Jan die Frau toll findet, wenn sie schon vergeben ist? (= p3)
  • Jan die Frau nicht toll findet, sie aber noch zu haben ist? (= p4)

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