Stochastik - Testen von Hypothesen, Matheaufgaben

Nullhypothe und Gegenhypothese, Annahme- und Ablehnungsbereich, Fehler 1. und 2. Art, einseitiger Signifikanztest - 32 Aufgaben in 10 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 9
  • Beschreibe ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term berechnet werden kann.
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    • Bei einem Schulfest können Lose gekauft werden. Für jedes Los erhält man einen Preis. Im Lostopf befinden sich \(50\) Lose, von denen \(5\) mit "Hauptpreis" und der Rest mit "Trostpreis" beschriftet sind.

    $$1-\frac{\binom{45}{5}}{\binom{50}{5}}$$

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Testen von Hypothesen, Signifikanztest
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Testen von Hypothesen, Signifikanztest

Kanal: Mathegym
Was versteht man unter Fehlern erster und zweiter Art in der Statistik?
#510
  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β´): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n
=
30
H
0
:
p
 
≥
 
0,1
 
     
 
K
=
{2; 3;...; 30}
H
1
:
p
<
0,1
 
     
 
K
=
{0; 1}
Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?
#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel
n
=
150; p
=
0,3
P
 
X ≥ 50
 ≈ ▇
Was versteht man unter einem einseitigen Signifikanztest?
#512
Beim einseitigen Signifikanztest wird für das Risiko erster Art eine Schranke (Signifikanzniveau, z.B. 5%) vorgegeben. Annahme- und Ablehungsbereich der Nullhypothese (=Entscheidungsregel) sind dann also so zu bestimmen, dass diese Schranke (gerade noch) eingehalten wird.
Beispiel
H
0
:
p
 
≤
 
1
3
;
H
1
:
p
>
1
3
;
n
=
40
Gib einen möglichst großen Ablehnungsbereich der Nullhypothese für das Signifikanzniveau von 1% an.
Wie beeinflusst der Annahmebereich der Nullhypothese das Risiko erster Art?
#511
Das Risiko erster Art ist umso kleiner, je größer der Annahmebereich K der Nullhypothese gewählt wird.
Was sind Nullhypothese, Gegenhypothese, Testgröße, kritischer und nichtkritischer Bereich sowie rechtsseitiger und linksseitiger Test bei einem einseitigen Hypothesentest?
#1223
Bei einem einseitigen Hypothesentest sind folgende Begriffe von Bedeutung
  • H0: Nullhyothese; immer von der Art "p=", "p≤" oder "p≥" (mit Gleichheitszeichen)
  • H1: Gegenhypothese; immer von der Art "p<" oder "p>" (ohne Gleichheitszeichen)
  • Z: Testgröße, misst die Anzahl der Treffer in einer Stichprobe mit vorgegebener Länge
  • K: kritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese verworfen wird (Ablehnungsbereich der Nullhypothese)
  • K: nichtkritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese beibehalten wird (Annahmebereich der Nullhypothese)
  • rechtsseitiger bzw. linksseitger Test: hängt vom Ungleichheitszeichen der Gegenhypothese ab; bei "p>" liegt ein rechtsseitiger Test vor, da K in diesem Fall von der Art Z>k sein muss.
Wie formuliert man Null- und Gegenhypothese sowie kritischen und unkritischen Bereich?
#508
Checkliste bei der Festlegung von Null- und Gegenhypothese sowie kritischem und unkritischem Bereich:
  • H0 lautet "p =", "p ≤" oder "p ≥" ("=" kommt vor).
  • H1 lautet dagegen "p >" oder "p <" ("=" kommt nicht vor).
  • H1 und K (Ablehnungsbereich der Nullhypothese) verwenden dasselbe Ungleichheitszeichen
  • K und K decken zusammen den kompletten Stichprobenumfang ab und dürfen sich nicht überschneiden.
Beispiel
Ein Würfel ist angeblich gezinkt und bringt Augenzahl 6 deutlich häufiger hervor als alle anderen Augenzahlen. Dies soll durch 60 Würfe getestet werden. Fällt dabei "Augenzahl 6" mehr als 15 mal, so gilt der Verdacht als bestätigt. Formuliere H0 und H1 sowie kritischen und unkritischen Bereich.
Beispiel

Beschreibe ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term berechnet werden kann.

Ein Spielwürfel wird mehrmals hintereinander geworfen.

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8}-8\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

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