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Wiederholen - Vertiefen - Vernetzen: Kapitel 4, Mathe-Übungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)
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Lies die Regel rückwärts.
Beispielaufgabe
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b
−r
= 1 / b
r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b
1/n
=
n
√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b
m/n
=
n
√(b
m
) = (
n
√b)
m
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Wandle um. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.
3
5
2
=
5
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Stoff zum Thema (+Video)
Potenzgesetze:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
a
p
· a
q
= a
p + q
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
a
p
: a
q
= a
p − q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
a
q
· b
q
= (a · b)
q
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
a
q
: b
q
= (a : b)
q
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(a
p
)
q
= a
p·q
Beispiel 1
Beispiel zu Potenzgesetz 1:
3
2
·
3
5
=
3
2
+
5
=
3
7
=
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
7mal
=
2187
Beispiel zu Potenzgesetz 2:
5
6
:
5
5
=
5
6
−
5
=
5
1
=
5
Beispiel zu Potenzgesetz 3:
5
2
·
7
2
=
5
·
7
2
=
35
2
=
1225
Beispiel zu Potenzgesetz 4:
15
2
:
5
2
=
15
:
5
2
=
3
2
=
9
Beispiel zu Potenzgesetz 5:
2
3
4
=
2
3
·
4
=
2
12
=
4096
Beispiel 2
Fasse jeweils zusammen:
(a)
6
7
:
6
3
(b)
2
5
:
6
5
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b
−r
= 1 / b
r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b
1/n
=
n
√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b
m/n
=
n
√(b
m
) = (
n
√b)
m
Beispiel
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
1
8
Zwei Terme T
1
und T
2
sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
und
x
2
x
2
3
und
x
3
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)
r
= a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a
1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x
1/3
= -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
x
+
1
−
3
4
=
8
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Die Gleichung x
n
=a (n ∈
N
)
hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Beispiel
Löse, falls möglich:
a
x
4
=
−
5
b
x
4
=
5
c
x
3
=
5
d
x
3
=
−
5
e
x
3
=
0
Wird ein Produkt in Klammern potenziert, so ist beim Auflösen der Klammer darauf zu achten, dass jeder Faktor zu potenzieren ist (drittes Potenzgesetz rückwärts).
Beispiel
2
3
a
2
b
3
=
?
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