Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = a · x^r?

Wenn f(x) = a · xr mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · r · x r−1.
Beispiel 1
f
 
x
=
1
4
·
x
1
3
+
7x
−
2
+
2
3
f '
 
x
=
?
Lösung:
f '
 
x
=
1
4
·
1
3
 
x
1
3
−
1
+
7
·
−
2
 
x
−
2
−
1
=
1
12
 
x
−
2
3
−
14x
−
3
Beispiel 2
f
 
x
=
3
 
x
−
5
 
3
x
2
+
7
x
2
f '
 
x
=
?
- - - - - - - - - - - - - - - - Schreibe f (x) zunächst mit Hilfe von Potenzen:
f
 
x
=
3
 
x
1
2
−
5
 
x
2
3
+
7
 
x
−
2
- - - - - - - - - - - - - - - - Jetzt ableiten:
f '
 
x
=
3
·
1
2
 
x
−
1
2
−
5
·
2
3
 
x
−
1
3
−
14x
−
3
        
 
=
3
2
 
x
−
1
2
−
10
3
 
x
−
1
3
−
14x
−
3
- - - - - - - - - - - - - - - - Evtl. noch umformulieren:
        
 
=
3
2
 
x
−
10
3
 
3
x
−
14
x
3
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Beispiel 3
f(x)
=
4
x
9
6
f´(x)
=
?
  • Wandle zunächst in die Form a·xr um
f(x)
=
1
6
·
x
9
4
  • Ableitungsregel anwenden
f´(x)
=
1
6
·
9
4
·
x
9
4
−
1
=
3
8
 
x
5
4
=
3
8
 
4
x
5
Siehe auch

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