Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?

Um den Abstand eines Punktes P(p1 | p2 | p3) von einer Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0.
  2. Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n1, n2 und n3.
Beispiel 1
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
 
?
Lösung:
d(E;P)
=
2
·
1
+
−
2
−
4
·
6
−
9
4
+
1
+
16
=
33
21
Bemerkung: farbig markiert sind die Koordinaten von P, die für die x-Koordinaten eingesetzt wurden.
Beispiel 2
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
 
?
Lösung:
d(E;P)
=
2
·
1
+
−
2
−
4
·
6
−
9
4
+
1
+
16
=
33
21
Bemerkung: farbig markiert sind die Koordinaten von P, die für die x-Koordinaten eingesetzt wurden.
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Falls dich interessiert, WARUM man so rechnet, kannst du dir die Zeichnung anschauen und anhand dieser die Erklärungsschritte nachverfolgen:
graphik
Der Abstand (bzw. die kürzeste Entfernung) von P zur Ebene E entspricht der Länge d des Lotes von P auf die Ebene E. Um diese Länge zu ermitteln wird der Lotfußpunkt F benötigt.
  • 1. Schritt
Geradengleichung des Lotes durch P bestimmen:
Als Fußpunkt der Geradengleichung wird der Punkt P verwendet. Der Richtungsvektor der Geradengleichung ist der Normalenvektor der Ebene E, der aus der gegebenen Normalenform von E direkt abgelesen werden kann.
Lot durch P
:
X
=
1
−
2
6
+
μ
·
2
1
−
4
  • 2. Schritt
Koordinaten des Lotfußpunkts F bestimmen (Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene E):
Dazu wird die Geradengleichung des Lotes koordinatenweise in die Ebenengleichung eingesetzt.
2
·
1
+
2
 
μ
+
−
2
+
1
 
μ
−
4
·
6
−
4
 
μ
−
9
=
0
vereinfachen
2
+
4
 
μ
−
2
+
μ
−
24
+
16
 
μ
−
9
=
0
zusammenfassen
−
33
+
21
 
μ
=
0
+
33
21
 
μ
=
33
:
21
μ
=
33
21
Bemerkung: farbig markiert sind die Koordinaten der Lotgerade, die für die x-Koordinaten der Ebenengleichung eingesetzt wurden.
Um die Koordinaten des Lotfußpunktes F zu erhalten, wird μ jetzt in die Lotgerade eingesetzt:
F
=
1
−
2
6
+
33
21
·
2
1
−
4
F
=
1
−
2
6
+
66
21
33
21
−
132
21
F
=
1
21
 
87
−
9
−
6
  • 3. Schritt
Abstand von P zur Ebene E berechnen (entspricht Berechnung der Länge von [PF]):
d(E;P)
=
PF
=
F
−
P
=
1
−
2
6
+
33
21
 
2
1
−
4
F
−
1
−
2
6
=
33
21
·
2
1
−
4
=
33
21
·
4
+
1
+
16
=
33
21
·
21
=
33
21
Siehe auch

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