Welche einzigartige Eigenschaft besitzen Punkte auf der Symmetrieachse bezüglich eines Punkts P und seines Spiegelpunkts P´?

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. D.h.

sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und A ein beliebiger Punkt der Achse, so ist dieser zu P und P´gleich weit entfernt.
sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und von A gleich weit entfernt, so muss A auf der Spiegelachse liegen.

Beispiel 1

Gegeben sind die Punkte P und P'. Gesucht ist die Spiegelachse a, die P auf P' abbildet.

Lösung: Man zeichnet zwei gleich große Kreise um P und P', die sich schneiden. Diese Schnittpunkte haben jeweils von P und P' die gleiche Entfernung und müssen daher auf der Achse liegen.

Beispiel 2

Der Punkt P soll an der Achse a gespiegelt werden.

Lösung: Man wählt zwei beliebige Achsenpunkte A und B (aus praktischen Gründen sollten sie nicht zu nah beieinander liegen). Dann zeichnet man um A und B jeweils einen Kreis durch P. Beide schneiden sich im Spiegelpunkt P'.

Begründung für dieses Vorgehen: P und P' haben von A und B jeweils dieselbe Entfernung. AB muss somit Spiegelachse bzgl. der Punkte P und P' sein.

Beispiel 3

Ein Winkel soll halbiert werden.

Lösung:

Ziehe einen Kreis um den Scheitelpunkt, dieser schneide die beiden Schenkel in den Punkten A und B.
Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft die Winkelhalbierende.

Begründung für das Vorgehen: S und C sind jeweils gleich weit von A und B entfernt. Damit ist SC Spiegelachse beider Schenkel.

Beispiel 4

(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).

(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).

Lösung zu (A):

Wähle zwei Punkte A und B auf g.
Ziehe um A und B jeweils einen Kreis durch P. Das Lot verläuft durch die Kreisschnittpunkte.

Begründung für das Vorgehen: Man spiegelt P an g. Die Strecke [PP´] steht somit senkrecht auf g.

Lösung zu (B):

Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.

Begründung für das Vorgehen: Man konstruiert die Mittelsenkrechte von [AB]; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von [AB] ist.

Beispiel 5

(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).

(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).

Lösung zu (A):

Wähle zwei Punkte A und B auf g.
Ziehe um A und B jeweils einen Kreis durch P. Das Lot verläuft durch die Kreisschnittpunkte.

Begründung für das Vorgehen: man spiegelt P an g. Die Strecke

PP´

steht somit senkrecht auf g.

Lösung zu (B):

Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.

Begründung für das Vorgehen: man konstruiert die Mittelsenkrechte von

; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von

ist.

Siehe auch