Wie kann man den Graphen und die Wertemenge einer Umkehrfunktion beschreiben?

Sei f eine umkehrbare Funktion und f ⁻¹ ihre Umkehrfunktion. Der Graph von f ⁻¹ ergibt sich aus dem Graphen von f, indem man bei allen Punkten die x- und y-Koordinate vertauscht. Das ist gleichbedeutend mit einer Spiegelung an der Geraden y=x (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten). Die Definitionsmenge von f ⁻¹ ist dann (logischer Weise) gleich der Wertemenge von f.

Beispiel

Zeige, dass f umkehrbar ist, und bestimme die Definitionsmenge sowie den Term der Umkehrfunktion \(f^{-1}\text{.}\)

\(f(x)=x^2+1\) mit \(x\geq 0\text{.}\)

Umkehrbarkeit und Definitionsmenge der Umkehrfunktion

Der Graph von \(f\) ist der rechte Ast einer nach oben geöffneten Normalparabel mit dem Scheitel \(S(0|1)\text{.}\) Auf diesem Ast steigt der Graph, also ist \(f\) streng monoton zunehmend und damit umkehrbar.

Aus dem Graphen liest man die Wertemenge \(W_f=[1;\infty[\) ab. Sie ist gleich der Definitionsmenge der Umkehrfunktion: \(D_{f^{-1}}=\underline{[1;\infty[}\text{.}\)

Term der Umkehrfunktion

Man löst die Funktionsgleichung nach \(x\) auf und vertauscht am Ende \(x\) und \(y\text{:}\)

\(y=x^2+1\quad|-1\)

\(y-1=x^2\quad|\sqrt{\phantom{x}}\)

\(\sqrt{y-1}=x\)

Da laut Angabe \(x\geq 0\) gilt, ist nur die positive Wurzel zu nehmen.

\(x=\sqrt{y-1}\quad|\ x\) und \(y\) vertauschen

\(y=\underline{\sqrt{x-1}}\)

Siehe auch