Wie berechnet man die neue Länge einer Strecke a, wenn sie um x verlängert oder verkürzt wird?

Verändert sich die Länge einer Seite \(a\) um den Parameter \(x,\) so unterscheidet man die beiden Fälle:

wird die Strecke \(a\) um \(x\) verlängert, so beträgt die neue Länge \( a+x.\)
wird die Strecke \(a\) um \(x\) verkürzt, so beträgt die neue Länge \(\displaystyle a-x.\)

Beispiel

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck \(\displaystyle ABC\) mit der Basis \(\displaystyle [AB]\) der Länge \(\displaystyle 6\,\mathrm{cm}\) und der Höhe \(\displaystyle h=4\,\mathrm{cm}\text{.}\) Verlängert man die Basis von \(\displaystyle A\) und von \(\displaystyle B\) aus jeweils um \(\displaystyle x\) und verkürzt zugleich die Höhe um \(\displaystyle 2x\text{,}\) so entstehen neue Dreiecke \(\displaystyle A_nB_nC_n\text{.}\)

Gib einen Term für den Flächeninhalt \(\displaystyle A(x)\) der neuen Dreiecke an und fasse ihn so weit wie möglich zusammen.

Neue Länge der Basis: Sie wird an beiden Enden um \(\displaystyle x\) verlängert, also insgesamt um \(\displaystyle 2x\text{:}\)

\(\displaystyle 6+2x\)

Neue Länge der Höhe: Sie wird um \(\displaystyle 2x\) verkürzt:

\(\displaystyle 4-2x\)

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt \(\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}\text{.}\) Setzt man die neuen Längen ein, so erhält man:

\(\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}\cdot(6+2x)\cdot(4-2x)\)

Multipliziert man das Produkt aus und fasst zusammen, so erhält man:

\(\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}\cdot(24-12x+8x-4x^2)\)

\(\displaystyle A(x)=\frac{1}{2}\cdot(-4x^2-4x+24)\)

\(\displaystyle A(x)=\result{-2x^2-2x+12}\)

Siehe auch