Wie kann die Polynomdivision zur Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades oder höher eingesetzt werden?

Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

  1. Erraten einer Nullstelle x0
    Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

  2. Polynomdivision
    Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
    f(x)=q(x)·(x−x0)

  3. Lösen der quadratischen Gleichung
    Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man z.B. mit der pq-Formel bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).
Beispiel
Die Funktion f mit
f(x)
=
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
hat die Nullstelle
x
0
=
2
Bestimme die weiteren Nullstellen.
x
1
=
?
 
die kleinere
x
2
=
?
 
die größere
Zur Bestimmung der Nullstellen ist folgende Gleichung zu lösen:
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
=
0
Diese Gleichung kann nur mithilfe der Polynomdivision gelöst werden (und nicht durch Äquivalenzumformungen, Faktorisieren oder mithilfe der pq-Formel).
  • Polynomdivision:
Da die Nullstelle x0 = 2 schon bekannt ist, ergibt sich daraus der Linearfaktor (x − 2) als Divisor.
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
:
x
−
2
=
?
1. Schritt: Teile die höchste Potenz des Dividenden (oben markiert) durch die höchste Potenz des Divisors (ebenfalls markiert).
x
3
:
x
=
x
2
Multipliziere dieses Teilergebnis mit dem Divisor und ziehe das Ergebnis vom vorderen Teil des Dividenden ab:
x
2
·
x
−
2
=
x
3
−
2x
2
Die letzte Rechnung führt man normaler Weise im Kopf aus. Die schriftliche Rechnung sieht bis hierhin so aus:
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    
 
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
:
x
−
2
=
x
2
 
...
 
−
x
3
−
2x
2
    -------------
            
 
x
2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2. Schritt: Hole den nächsten Summanden herunter:
    
 
x
3
−
x
2
 
−
8x
+
12
:
x
−
2
=
x
2
 
...
 
−
x
3
−
2x
2
    -------------
            
 
x
2
 
−
8x
und wiederhole das Vorgehen. Die schriftliche Rechnung von oben bis hierhin ergänzt:
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    
 
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
:
x
−
2
=
x
2
+
x
 
...
 
−
x
3
−
2x
2
    -------------
            
 
x
2
−
8x
       
 
−
x
2
−
2x
       ----------------
               
 
−
6x
+
12
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Wiederhole die Schritte 1-3 so lange bis der Rest 0 ist. Die komplette schriftliche Rechnung sieht dann so aus (das Ergebnis der Polynomdivision markiert):
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    
 
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
:
x
−
2
=
x
2
+
x
−
6
 
−
x
3
−
2x
2
    -------------
            
 
x
2
−
8x
       
 
−
x
2
−
2x
       ---------------
               
 
−
6x
+
12
          
−
−
6x
+
12
               -------------
                      
 
0
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Bemerkung: Hier im Beispiel werden die Summanden schrittweise "heruntergeholt" (wie bei der schriftlichen Division). Bezieht man die Subtraktion in jedem Teilschritt auf den gesamten Funktionsterm, dann werden alle Summanden auf einmal "heruntergeholt". Das Ergebnis der Polynomdivision bleibt bei beiden Vorgehensweisen gleich.
  • Lösen der quadratischen Gleichung:
Zu lösen ist die Gleichung:
x
2
+
x
−
6
=
0
pq-Formel:
p
=
1
q
=
−
6
x
1,2
=
−
1
2
 
±
 
−
1
2
2
−
−
6
=
−
0,5
 
±
 
1
4
+
6
=
−
0,5
 
±
 
6,25
=
−
0,5
 
±
 
2,5
x
1
=
−
3
x
2
=
2
In diesem Fall hat die Funktion f also insgesamt zwei Nullstellen. Die bekannte:
x
0
=
2,
die eine doppelte Nullstelle ist, und die weitere Nullstelle:
x
1
=
−
3
Siehe auch

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