Was ist der Vorteil eines faktorisierten Funktionsterms?

Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel 1
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Lösung: Der zweite Faktor ist null für
 
x
1
=
−
1
3
;
Untersuchung des ersten Faktors:
x
4
−
3x
3
−
2x
2
=
0
x
2
ausklammern
x
2
·
x
2
−
3x
−
2
=
0
          Auch hier gilt es wieder, beide Faktoren zu untersuchen:
          Der Faktor x² liefert eine weitere (doppelte) Nullstelle
 
x
2,3
=
0
 
.
          Evtl. Nullstellen des quadratischen Faktors liefert die
 
Mitternachtsformel:
          
 
x
2
−
3x
−
2
=
0
x
4,5
=
3 ±
 
9
+
8
2
=
3 ±
 
17
2
f(x) besitzt also 4 unterschiedliche Nullstellen (siehe oben markiert).
Beispiel 2
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Lösung: Der zweite Faktor ist Null für
 
x
1
=
−
1
3
;
Untersuchung des ersten Faktors:
x
4
−
3x
3
−
2x
2
=
0
x
2
ausklammern
x
2
·
x
2
−
3x
−
2
=
0
          Auch hier gilt es wieder, beide Faktoren zu untersuchen:
          Der Faktor x² liefert eine weitere (doppelte) Nullstelle
 
x
2,3
=
0
 
.
          Evtl. Nullstellen des quadratischen Faktors liefert die
 
pq-Formel:
          
 
x
2
−
3x
−
2
=
0
x
4,5
=
3
2
 
±
 
9
4
+
2
=
3
2
 
±
 
17
4
=
3 ±
 
17
2
f(x) besitzt also 4 unterschiedliche Nullstellen (siehe oben markiert).
Siehe auch

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