Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Geraden g in Parameterform liegt?

Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.
Beispiel

Gegeben ist die Gerade g. \[ g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Prüfe, ob die Punkte \( P(-1|3|5) \) und \( Q(10|-13|-1) \) auf \( g \) liegen.

Lösung:

  • P ∈ g?

\[ \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Aus der zweiten Zeile folgt \( \mu = 1 \); aus der dritten Zeile dagegen \( \mu = 0 \). Es gibt also keine (übereinstimmende) Lösung für \( \mu \) und damit liegt P nicht auf \( g \).

  • Q ∈ g?

\[ \begin{pmatrix} 10 \\ -13 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 9 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Aus der ersten Zeile folgt \( \mu = -3 \); aus der zweiten und dritten Zeile ebenso. Damit liegt Q auf \( g \).

Siehe auch

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