Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
  • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
  • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
  • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
  • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
k
=
?
graphik
  • Streckzentrum Z:
Zeichnet man Hilfslinien durch die einander entsprechenden Eckpunkte der zwei Dreiecke, schneiden sich diese in einem Punkt, dem Streckzentrum Z. Aus der Zeichnung liest man ab:
Z
 
−
4
 
|
 
−
2
  • Streckfaktor k:
Um den Streckfaktor zu berechnen, teilt man die Länge einer Seite des blauen Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite des roten Dreiecks:
A'B'
:
AB
=
3
:
6
=
0,5
k
=
0,5
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
−
1
 
|
 
4
Streckzentrum:
Z
 
−
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A'
 
?
 
|
 
?
B'
 
?
 
|
 
?
C'
 
?
 
|
 
?
D'
 
?
 
|
 
?
Zeichne die Figur mit den angegebenen Koordinaten und das Streckzentrum in ein Koordinatensystem ein.
Zeichne eine Hilfslinie vom Streckzentrum Z durch den Eckpunkt A der Figur.
graphik
Miss die Länge der Strecke
 
ZA
 
.
Trage von Z aus das Doppelte dieser Länge an der Hilfslinie ab (allgemein: das |k|-fache). Markiere den Punkt A'.
graphik
Wiederhole das Vorgehen für alle Eckpunkte der Figur und verbinde die Bildpunkte der Reihe nach.
graphik
Die Koordinaten der Bildfigur sind:
A'
 
4
 
|
 
−
2
B'
 
8
 
|
 
0
C'
 
6
 
|
 
0
D'
 
0
 
|
 
6
Siehe auch

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

Online-Übungen, die du direkt im Browser bearbeiten und lösen kannst! Mit ausführlichen Musterlösungen, professionellen Erklär-Videos und gezielten Hilfestellungen.

Ähnliche Themen