Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?

Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
ZP'
=
k
·
ZP
x'
−
−
1
y'
−
1
=
4
·
2
−
−
1
−
3
−
1
Aufspalten in zwei Gleichungen:
I.
 
x'
−
−
1
=
4
·
2
+
1
II.
 
y'
−
1
=
4
·
−
3
−
1
Gleichungen nach x' bzw. y' auflösen:
I.
 
x'
+
1
=
4
·
3
 
 
⇒x'
=
11
II.
 
y'
−
1
=
4
·
−
4
 
 
⇒y'
=
−
15
Damit hat der Bildpunkt die Koordinaten P'(11|-15).
Beispiel 2
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
ZP'
=
k
·
ZP
5
−
−
3
−
4
−
1
=
2
·
x
−
−
3
y
−
1
Aufspalten in zwei Gleichungen:
I.
 
5
+
3
=
2
·
x
+
3
II.
 
−
5
=
2
·
y
−
1
Gleichungen nach x bzw. y auflösen:
I.
 
8
=
2x
+
6
 
 
⇒x
=
1
II.
 
−
5
=
2y
−
2
 
 
⇒y
=
−
1,5
Damit hat der Urpunkt die Koordinaten P(1|-1,5).
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
ZP'
=
k
·
ZP
5
−
2
13
−
4
=
k
·
1
−
2
1
−
4
Aufspalten in zwei Gleichungen:
I.
 
3
=
k
·
−
1
II.
 
9
=
k
·
−
3
Gleichungen jeweils nach k auflösen:
I.
 
−
3
=
k
II.
 
−
3
=
k
Weil für k jeweils die gleiche Zahl herauskommt, ist es eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor 
k
=
−
3
.
Siehe auch

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