Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

  • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
  • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
graphik
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
 
'
=
?
β
 
'
=
?

  • Winkel
Da die Dreiecke ähnlich sind, stimmen sie in allen Winkeln überein. Also:
α
 
'
=
28°
γ
=
54°
Mithilfe der Winkelsumme im Dreieck erhält man dann:
180
28
+
54
=
180
82
=
98
β
=
98°
β
 
'
=
98°
  • Streckenlängen
Teilt man die Seitenlänge c' = 6,9 cm durch die Seitenlänge c = 4,6 cm, erhält man den Streckfaktor k:
6,9
:
4,6
=
1,5
Streckfaktor k = 1,5.
b' bekommt man, indem man b = 6,2 cm mit dem Streckfaktor k multipliziert:
b'
=
6,2 cm
·
1,5
=
9,3 cm
a erhält man, wenn man a' = 2,7 cm durch den Streckfaktor k teilt:
a
=
2,7 cm
:
1,5
=
1,8 cm

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