Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?

Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?
Alle Punkte P auf der Urgeraden g haben die Koordinaten 
P
 
x
 
|
 
−
2x
+
1
.
Z, k, P und P'(x'|y') in die Vektorgleichung 
ZP'
=
k
·
ZP
 einsetzen:
x'
−
5
y'
−
5
=
0,5
·
x
−
5
−
2x
+
1
−
5
Aufspalten in zwei Gleichungen und ausmultiplizieren:
I
 
x'
−
5
=
0,5
·
x
−
5
    
⇒x'
−
5
=
0,5x
−
2,5
II
 
y'
−
5
=
0,5
·
−
2x
−
4
    
⇒y'
−
5
=
−
x
−
2
Vereinfachen und eine Gleichung nach x auflösen:
I
 
x'
−
2,5
=
0,5x
II
 
y'
−
3
=
−
x
 
 
⇒
−
y'
+
3
=
x
−
y'
+
3
 in die andere Gleichung für x einsetzen:
I
 
x'
−
2,5
=
0,5
·
−
y'
+
3
Diese Gleichung nach y' auflösen:
x'
−
2,5
=
0,5
·
−
y'
+
3
x'
−
2,5
=
−
0,5y'
+
1,5
−
1,5
x'
−
4
=
−
0,5y'
·
−
2
−
2x'
+
8
=
y'
Die Striche kannst du jetzt weglassen. Die Gleichung der Bildgeraden 
g'
 lautet 
y
=
−
2x
+
8
.
Beispiel 2
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?
Alle Punkte P auf der Urparabel p haben die Koordinaten 
P
 
x
 
|
 
x
2
−
1
.
Z, k, P und P'(x'|y') in die Vektorgleichung 
ZP'
=
k
·
ZP
 einsetzen:
x'
−
1
y'
−
1
=
2
·
x
−
1
x
2
−
1
−
1
Aufspalten in zwei Gleichungen und ausmultiplizieren:
I
 
x'
−
1
=
2
·
x
−
1
    
⇒x'
−
1
=
2x
−
2
II
 
y'
−
1
=
2
·
x
2
−
2
    
⇒y'
−
1
=
2x
2
−
4
Vereinfachen, die erste Gleichung nach x und die zweite nach 
y'
 auflösen:
I
 
x'
+
1
=
2x
    
⇒0,5x'
+
0,5
=
x
II
 
y'
=
2x
2
−
3
0,5x'
+
0,5
 in die zweite Gleichung für x einsetzen:
y'
=
2
·
0,5x'
+
0,5
2
−
3
Rechte Seite ausmultiplizieren, die Striche kannst du schon weglassen:
y
=
2
·
0,5x
+
0,5
2
−
3
y
=
2
·
0,25x
2
+
0,5x
+
0,25
−
3
y
=
0,5x
2
+
x
−
2,5
Die Gleichung der Bildparabel 
p'
 lautet 
y
=
0,5x
2
+
x
−
2,5
.
Siehe auch

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