Man prüft jeden Kandidaten, indem man ihn ableitet und mit \(f(x)=x\,e^x\) vergleicht. In allen fünf Funktionen tauchen Produkte auf, daher wird jeweils die Produktregel benötigt.
Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion:
Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn für alle \(x\) eines Intervalls \(I\) gilt: \(F'(x)=f(x).\)
Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion und Integral:
Für das Integral \(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\) gilt dann:
\(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).\)
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x\,e^x.\)
Kreuze alle Funktionen an, die eine Stammfunktion von \(f\) sind.
\(F_1(x)=x\,e^x\)
\(F_2(x)=(x-1)\,e^x\)
\(F_3(x)=\frac{1}{2}x^2e^x\)
\(F_4(x)=(x-1)\,e^x+3\)
\(F_5(x)=(x+1)\,e^x\)
Berechne nun \(\displaystyle \int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x=\class{mathjax-input mathjax-input-6}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)
∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C
Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.
Spezialfall n = -1:
∫ 1/x dx = ln |x| + C
∫ sin (x) dx = − cos (x) + C
∫ cos (x) dx = sin (x) + C
∫ ex dx = ex + C
∫ f ( ax + b ) dx
f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|
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