Logarithmus - Exponentialgleichung und Rechenregeln, Matheaufgaben

Einfache Exponentialgleichungen (Benutzung des Taschenrechners), Vereinfachung logarithmischer Terme mit Hilfe von Rechenregeln

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Exponentialgleichung und Logarithmus

Kanal: Mathegym

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Logarithmus Rechenregeln

Kanal: Mathegym

Was bedeutet log_b a und wie berechnet man es?

#353

Um log_b a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"

Beispiel: log₃ 9 = 2, weil 3² = 9

Wie lassen sich mehrere Logarithmen mit gleicher Basis zu einem Logarithmus zusammenfassen?

#354

Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

log_b x + log_b y = log_b (x · y)

log_b x − log_b y = log_b (x : y)

Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!

Was ist eine Exponentialgleichung und wie wird sie gelöst?

#358

Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!) b^x = a besitzt die Lösung x = log_b a.

Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Wie berechnet man log_b a mit einem Taschenrechner, der nur eine 'log'-Taste hat?

#356

Um log_b a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:

log a : log b

Wie kann man log_b(a) ohne Taschenrechner bestimmen, wenn Basis und Argument als Potenzen derselben Basis darstellbar sind?

#359

Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.

Beispiel

log

Wie löst man die Gleichung log_b a = c, wenn a oder b gesucht sind?

#851

Sind in der Gleichung

log_b a = c

a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichung

b^c = a

und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.

Wie kann ein Logarithmus umgeformt werden, wenn die Basis eine Potenz ist?

#852

Ist die Basis des Logarithmus eine Potenz b^r, so lässt sich der Logarithmus wie folgt umformen:

log _b^r (a) = log _b (a^1/r)

Beispiel

Vereinfache.

log

1/a

−

log

Wie lässt sich eine Exponentialgleichung der Form b^{T_1(x)} = b^{T_2(x)} lösen?

#368

Liegt die Exponentialgleichung in der Form

b^T₁(x) = b^T₂(x) [ T₁(x) und T₂(x) sind x-Terme ]

vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:

T₁(x) = T₂(x)

Wie kann man einen Logarithmus umformen, wenn das Argument eine Potenz ist?

#355

log_b a^r = r · log_b a

Die Regel ist viele Schülern unter "Lasso-Regel" geläufig, da man den Exponenten sozusagen mit einem Lasso einfängt und vor das "r" stellt.

Wie löst man eine Exponentialgleichung, wenn nur eine Potenz mit x vorkommt?

#997

Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form

a^T(x)=b

bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die Gleichung

T(x)=log_ab

erhält, die nach x aufgelöst werden kann.

Beispiel

Löse die Gleichung.

12 000

1,06

−

Beispiel

Löse die Gleichung:

−

Wie kann man Summen oder Differenzen von Potenzen mit x im Exponenten vereinfachen?

#998

Um Summen oder Differenzen von Potenzen (mit x im Exponent) zu vereinfachen, kann man versuchen, mit Hilfe der Potenzregeln gleiche Potenzen herzustellen.

Beispiel

Löse die Exponentialgleichung.