Logarithmus - Exponentialgleichung und Rechenregeln, Matheaufgaben

Einfache Exponentialgleichungen (Benutzung des Taschenrechners), Vereinfachung logarithmischer Terme mit Hilfe von Rechenregeln

Hilfe
  • Zwei mögliche Vorgehensweisen
    • Bringe die Gleichung in die Form bT(x) = a und löse dann: T(x) = logb a

    • Logarithmiere beide Seiten und wende dann geeignete Rechenregeln für Logarithmen an, um nach x aufzulösen

Bestimme die Lösung. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 3. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • 8
    ·
    12
    x
    −
    1
    =
    7
    ·
    10
    x
    −
    1
    x ≈
     
    Notizfeld
    Notizfeld
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Exponentialgleichung und Logarithmus
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Logarithmus Rechenregeln
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Was bedeutet log_b a und wie berechnet man es?
#353
Um  logb a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"

Beispiel: log3 9 = 2, weil 32 = 9

Was ist eine Exponentialgleichung und wie wird sie gelöst?
#358
Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!)   bx = a    besitzt die Lösung   x = logb a.

Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"

Wie lassen sich mehrere Logarithmen mit gleicher Basis zu einem Logarithmus zusammenfassen?
#354
Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

logb x + logb y = logb (x · y)

logb x − logb y = logb (x : y)

Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!
Wie berechnet man log_b a mit einem Taschenrechner, der nur eine 'log'-Taste hat?
#356
Um logb a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:

log a : log b

Wie kann man log_b(a) ohne Taschenrechner bestimmen, wenn Basis und Argument als Potenzen derselben Basis darstellbar sind?
#359
Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
Beispiel
log
4
 
1
8
=
?
Wie löst man die Gleichung log_b a = c, wenn a oder b gesucht sind?
#851
Sind in der Gleichung

logb a = c

a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichung

bc = a

und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.
Wie kann ein Logarithmus umgeformt werden, wenn die Basis eine Potenz ist?
#852
Ist die Basis des Logarithmus eine Potenz br, so lässt sich der Logarithmus wie folgt umformen:

log br (a) = log b (a1/r)

Beispiel
Vereinfache.
log
1/a
 
b
2
−
log
a
2
 
1
b
=
?
Wie lässt sich eine Exponentialgleichung der Form b^{T_1(x)} = b^{T_2(x)} lösen?
#368
Liegt die Exponentialgleichung in der Form

bT1(x) = bT2(x)    [ T1(x) und T2(x) sind x-Terme ]

vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:

T1(x) = T2(x)

Wie kann man einen Logarithmus umformen, wenn das Argument eine Potenz ist?
#355
logb ar = r · logb a

Die Regel ist viele Schülern unter "Lasso-Regel" geläufig, da man den Exponenten sozusagen mit einem Lasso einfängt und vor das "r" stellt.

Wie löst man eine Exponentialgleichung, wenn nur eine Potenz mit x vorkommt?
#997
Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form

aT(x)=b

bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die Gleichung

T(x)=logab

erhält, die nach x aufgelöst werden kann.
Beispiel
Löse die Gleichung.
12 000
·
1,06
x
−
3
=
10
5
Beispiel
Löse die Gleichung:
4
x
−
1
:
9
=
3
2
−
x
·
2
x
Wie kann man Summen oder Differenzen von Potenzen mit x im Exponenten vereinfachen?
#998
Um Summen oder Differenzen von Potenzen (mit x im Exponent) zu vereinfachen, kann man versuchen, mit Hilfe der Potenzregeln gleiche Potenzen herzustellen.
Beispiel
Löse die Exponentialgleichung.
4
x
+
1
=
4
x
−
1
2
+
7

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