Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. D.h.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und A ein beliebiger Punkt der Achse, so ist dieser zu P und P´gleich weit entfernt.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und von A gleich weit entfernt, so muss A auf der Spiegelachse liegen.
Beispiel 1
Gegeben sind die Punkte P und P'. Gesucht ist die Spiegelachse a, die P auf P' abbildet.
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Lösung: Man zeichnet zwei gleich große Kreise um P und P', die sich schneiden. Diese Schnittpunkte haben jeweils von P und P' die gleiche Entfernung und müssen daher auf der Achse liegen.
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Beispiel 2
Der Punkt P soll an der Achse a gespiegelt werden.
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Lösung: Man wählt zwei beliebige Achsenpunkte A und B (aus praktischen Gründen sollten sie nicht zu nah beieinander liegen). Dann zeichnet man um A und B jeweils einen Kreis durch P. Beide schneiden sich im Spiegelpunkt P':
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Begründung für dieses Vorgehen: P und P' haben von A und B jeweils dieselbe Entfernung. AB muss somit Spiegelachse bzgl. der Punkte P und P' sein.
Beispiel 3
Ein Winkel soll halbiert werden.
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Lösung:
  1. Ziehe einen Kreis um den Scheitelpunkt, dieser schneide die beiden Schenkel in den Punkten A und B.
  2. Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft die Winkelhalbierende.
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Begründung für das Vorgehen: S und C sind jeweils gleich weit von A und B entfernt. Damit ist SC Spiegelachse beider Schenkel.
Beispiel 4
(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).
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(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).
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Lösung zu (A):
  1. Wähle zwei Punkte A und B auf g.
  2. Ziehe um A und B jeweils einen Kreis durch P. Das Lot verläuft durch die Kreisschnittpunkte.
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Begründung für das Vorgehen: Man spiegelt P an g. Die Strecke [PP´] steht somit senkrecht auf g.
Lösung zu (B):
  1. Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
  2. Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.
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Begründung für das Vorgehen: Man konstruiert die Mittelsenkrechte von [AB]; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von [AB] ist.
Beispiel 5
(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).
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(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).
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Lösung zu (A):
  1. Wähle zwei Punkte A und B auf g.
  2. Ziehe um A und B jeweils einen Kreis durch P. Das Lot verläuft durch die Kreisschnittpunkte.
graphik
Begründung für das Vorgehen: man spiegelt P an g. Die Strecke 
PP´
 steht somit senkrecht auf g.
Lösung zu (B):
  1. Ziehe einen Kreis um P, so dass dieser die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
  2. Ziehe zwei gleich große Kreise um A und um B. Durch deren Schnittpunkt C verläuft das Lot.
graphik
Begründung für das Vorgehen: man konstruiert die Mittelsenkrechte von 
AB
; diese geht durch P, da P der Mittelpunkt von 
AB
 ist.

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