Wie lässt sich die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt des Graphen rechnerisch bestimmen?

Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
−
1.
b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
−
2.
Lösung zu a)
  • Steigung der Tangente
f ´
 
x
=
3x
2
+
2
m
T
=
f ´
 
−
1
=
5

  • y-Achsenabschnitt der Tangente
Gleichung der Tangente T: 
y
=
5
x
+
t
Setze −1 für x und 
f
 
−
1
=
−
2
 für y ein (= Punkt, der auf T liegt) und löse dann nach t auf:
−
2
=
5
·
−
1
+
t
−
2
=
−
5
+
t
+
5
t
=
3
Damit besitzt T die Gleichung 
y
=
5x
+
3
.
graphik

Lösung zu b)
  • Stelle(n) ermitteln
f ´
 
x
=
7
3
3x
2
+
2
=
7
3
−
2
3x
2
=
1
3
:
3
x
2
=
1
9
 
x
=
±
1
3
  • y-Achsenabschnitte beider Tangenten
Berechnung der zugehörigen y-Werte:
f
 
−
1
3
=
8
27
      
f
 
1
3
=
46
27
Setze in die Gleichung 
y
=
7
3
x
+
t
 also die Punkte 
P
1
 
−
1
3
 
|
 
8
27
 und 
P
2
 
1
3
 
|
 
46
27
 ein und löse jeweils nach t auf:
8
27
=
7
3
·
−
1
3
+
t
8
27
=
−
7
9
+
t
+
7
9
t
=
29
27
T
1
:
 
y
=
7
3
x
+
29
27
graphik
46
27
=
7
3
·
1
3
+
t
46
27
=
7
9
+
t
−
7
9
t
=
25
27
T
2
:
 
y
=
7
3
x
+
25
27
graphik
Anwendung der Ableitung, Tangentenbestimmung, Beispiele (Teil 1)
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Anwendung der Ableitung, Tangentenbestimmung, Beispiele (Teil 2)
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Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Lösung:
graphik
  • Q allgemein formulieren und f ' bestimmen
Der Punkt Q habe die unbekannten Koordinaten
 
Q
 
x
 
|
 
2
x
 
.
Die Steigung des Graphen im Punkt Q ist gleich f '
x
=
−
2
x
2
 
.
  • Bestimmung von x, Variante 1
Bestimme die Steigung m der Geraden PQ über das Steigungsdreieck und setze dies dann mit f ' (x) gleich:
m
=
y
Q
−
y
P
x
Q
−
x
P
=
2
x
−
4
3
x
−
0
=
6
−
4x
3x
:
x
=
6
−
4x
3x
2
f '
 
x
=
m
−
2
x
2
=
6
−
4x
3x
2
·
3x
2
−
6
=
6
−
4x
−
6
−
12
=
−
4x
:
−
4
x
=
3
  • Bestimmung von x, Variante 2
Man kann aber auch so vorgehen, dass man in die Tangentengleichung y = mx + t für m den Term f ' (x) und ansonsten Q einsetzt und nach t auflöst:
y
=
m
·
x
+
t
einsetzen
2
x
=
−
2
x
2
·
x
+
t
+
2
x
4
x
=
t
Setze jetzt t gleich
 
4
3
 
y-Achsenabschnitt
 
und löse nach x auf
 
:
4
x
=
4
3
x
=
3
  • Q angeben
Setze also oben in Q den Wert 3 ein:
Q
 
3
 
|
 
2
3
Beispiel 3
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
  • Steigung der Tangente
f ´
 
x
=
−
3
·
2
+
5x
−
1
−
3x
·
5
2
+
5x
2
=
−
6
−
15x
−
5
+
15x
2
+
5x
2
=
−
11
2
+
5x
2
m
T
=
f ´
 
0,6
=
−
0,44

  • y-Achsenabschnitt der Tangente
Gleichung der Tangente T: 
y
=
−
0,44
x
+
t
Setze 0,6 für x und 
f
 
0,6
=
−
0,16
 für y ein (= Punkt, der auf T liegt) und löse dann nach t auf:
−
0,16
=
−
0,44
·
0,6
+
t
−
0,16
=
−
0,264
+
t
+
0,264
t
=
0,104
Damit besitzt T die Gleichung 
y
=
−
0,44x
+
0,104
.
graphik
Siehe auch

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