Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Graphen?

Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel 1
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.
Lösung
  • f '' bestimmen
f '
 
x
=
4x
3
−
6x
2
−
9x
+
2
f ''
 
x
=
12x
2
−
12x
−
9

  • f '' (x) = 0
0
=
12x
2
−
12x
−
9
MNF
x
1,2
=
12
 
±
 
144
−
4
·
12
·
−
9
24
x
1,2
=
12
 
±
 
24
24
x
1
=
1,5
x
2
=
−
0,5

  • Maximale Krümmungsintervalle
x
 
<
−
0,5
<
 
x
 
<
1,5
<
 
x
f ''
 
x
+
0
−
0
+
Krümmung G
f
links
rechts
links
Erläuterung: auf die Vorzeichen der zweiten Ableitung kommt man
  • z.B. durch Einsetzen von jeweils einem x-Wert aus jedem der Intervalle in die zweite Ableitung.
  • Eleganter ist es, wenn man sich hier den quadratischen Term der zweiten Ableitung als nach oben geöffnete Parabel vorstellt. Dann ist sofort klar: die Parabel ist - von links nach rechts - erst über, dann unter, dann wieder über der x-Achse, daher der Vorzeichenverlauf Plus-Minus-Plus.
Beispiel 2
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x
 
.
Lösung:
  • f '' bestimmen
f '
 
x
=
4x
3
−
6x
2
−
9x
+
2
f ''
 
x
=
12x
2
−
12x
−
9
  • f ''(x) = 0
12x
2
−
12x
−
9
=
0
:
12
x
2
−
x
−
3
4
=
0
pq
−
Formel
x
1,2
=
1
2
 
±
 
−
1
2
2
−
−
3
4
x
1,2
=
1
2
 
±
 
1
x
1
=
1,5
x
2
=
−
0,5
  • Maximale Krümmungsintervalle
x
<
−
0,5
<
x
<
1,5
<
x
f '' (x)
+
0
−
0
+
G
f
links
rechts
links
Siehe auch

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