In welchen besonderen Fällen legen zwei Geraden, die in Parameterform gegeben sind, eine Ebene fest und wie erhält man jeweils die Parameterform dieser Ebene?

Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie

sich in einem Punkt schneiden:

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h oder den Schnittpunkt als Aufpunkt der Ebene verwenden sowie die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h als Aufpunkt der Ebene verwenden. Da die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind, verwendet man den Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten beider Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Beispiel

−

Die Ebene E enthält die Geraden g und h, die Ebene F die Geraden g und i. Gib für E und F jeweils eine Gleichung in Parameterform an.

Lösung:

Ebene E

Ein Vergleich der Richtungsvektoren von g und h zeigt, dass beide Geraden nicht parallel sind. Da g und h laut Aufgabenstellung in E liegen, kann man den Fall "windschief" ausschließen und davon ausgehen, dass beide Geraden sich schneiden. E wird damit durch den Aufpunkt (Stützpunkt) von g (ebenso möglich der Aufpunkt von h) sowie durch die beiden Richtungsvektoren der Geraden beschrieben (siehe Skizze unten):

−

Skizze

Ebene F

Ein Vergleich der Richtungsvektoren von g und i zeigt, dass beide Geraden parallel sind. Für die Beschreibung der Ebene benötigt man daher, neben dem Richtungsvektor von g, einen zweiten, dazu linear unabhängigen Richtungsvektor. Hier eignet sich z.B. der Vektor von A nach C (gemeint sind die Aufpunkte beider Geraden, siehe Skizze unten):