Wie können eine Gerade und eine Ebene im Raum zueinander liegen und wie ermittelt man die genaue Lage rechnerisch?

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g und E gleich.
  2. Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
  3. Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.
Beispiel
E
:
X
=
2
−
5
−
6
+
λ
 
1
1
0
+
μ
 
2
1
3
 
     
 
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
 
     
 
h
:
X
=
1
−
5
−
9
+
λ
 
0
−
1
3
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Lösung siehe Video:
Gegenseitige Lage von Ebene (Parameterform) und Gerade
Lernvideo

Gegenseitige Lage von Ebene (Parameterform) und Gerade

Kanal: Mathegym
Siehe auch

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