Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
  • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
  • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
  • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
  • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
k
=
?

graphik
  • Streckzentrum Z:
Zeichnet man Hilfslinien durch die einander entsprechenden Eckpunkte der zwei Dreiecke, schneiden sich diese in einem Punkt, dem Streckzentrum Z. Aus der Zeichnung liest man ab:
Z
 
4
 
|
 
2
  • Streckfaktor k:
Um den Streckfaktor zu berechnen, teilt man die Länge einer Seite des blauen Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite des roten Dreiecks:
A'B'
:
AB
=
3
:
6
=
0,5
k
=
0,5
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
1
 
|
 
4
Streckzentrum:
Z
 
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A'
 
?
 
|
 
?
B'
 
?
 
|
 
?
C'
 
?
 
|
 
?
D'
 
?
 
|
 
?

Zeichne die Figur mit den angegebenen Koordinaten und das Streckzentrum in ein Koordinatensystem ein.
Zeichne eine Hilfslinie vom Streckzentrum Z durch den Eckpunkt A der Figur.
graphik
Miss die Länge der Strecke
 
ZA
 
.
Trage von Z aus das Doppelte dieser Länge an der Hilfslinie ab (allgemein: das |k|-fache). Markiere den Punkt A'.
graphik
Wiederhole das Vorgehen für alle Eckpunkte der Figur und verbinde die Bildpunkte der Reihe nach.
graphik
Die Koordinaten der Bildfigur sind:
A'
 
4
 
|
 
2
B'
 
8
 
|
 
0
C'
 
6
 
|
 
0
D'
 
0
 
|
 
6

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