Was ist eine zentrische Streckung, welche Eigenschaften haben Figur und Bildfigur und was sagt der Streckungsfaktor k aus?
Zentrische Streckung
Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:
- Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
- Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
- Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
- Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.
Was uns der Streckfaktor k sagt...:
- k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
- k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
- |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
- |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
- Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
- Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.
Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
Z |
|
k | = | ? |
- Streckzentrum Z:
Zeichnet man Hilfslinien durch die einander entsprechenden Eckpunkte der zwei Dreiecke, schneiden sich diese in einem Punkt, dem Streckzentrum Z. Aus der Zeichnung liest man ab:
|
- Streckfaktor k:
Um den Streckfaktor zu berechnen, teilt man die Länge einer Seite des blauen Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite des roten Dreiecks:
| = | 0,5 |
k | = |
|
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
Streckzentrum:
Z |
|
Streckfaktor:
k | = | 2 |
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A' |
|
B' |
|
C' |
|
D' |
|
Zeichne die Figur mit den angegebenen Koordinaten und das Streckzentrum in ein Koordinatensystem ein.
Zeichne eine Hilfslinie vom Streckzentrum Z durch den Eckpunkt A der Figur.
| . |
Trage von Z aus das Doppelte dieser Länge an der Hilfslinie ab (allgemein: das |k|-fache). Markiere den Punkt A'.
Wiederhole das Vorgehen für alle Eckpunkte der Figur und verbinde die Bildpunkte der Reihe nach.
Die Koordinaten der Bildfigur sind:
A' |
|
B' |
|
C' |
|
D' |
|
Siehe auch
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