Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel 1
graphik
In welchen Intervallen gilt 
f
 
x
 
> 0,
   
f
 
x
 
< 0,
   
f ´
 
x
 
> 0,
   
f ´
 
x
 
< 0?
An welchen Stellen gilt 
f
 
x
=
0,
   
f ´
 
x
=
0?
Untersuchung von f
Im Intervall 
x
 
∈
 
]−∞;2[
 ist 
G
f
 oberhalb der x-Achse, also 
f
 
x
 
> 0.
Im Intervall 
x
 
∈
 
]2;∞[
 ist 
G
f
 unterhalb der x-Achse, also 
f
 
x
 
< 0.
Bei 
x
=
2
 schneidet der Graph die x-Achse, also 
f
 
2
=
0.
Untersuchung von f ´
Im Intervall 
x
 
∈
 
]−∞;−1[
 ist 
G
f
 streng monoton steigend, also 
f ´
 
x
 
> 0.
In den Intervallen 
x
 
∈
 
]−1;2[
 und 
x
 
∈
 
]2;∞[
 ist 
G
f
 streng monoton fallend, also 
f ´
 
x
 
< 0.
An den Stellen 
x
=
−
1
 und 
x
=
2
 besitzt der Graph eine waagrechte Tangente, also 
f ´
 
−
1
=
0
 und 
f ´
 
2
=
0.
Lokales und globales Differenzieren, Vorzeichen der Ableitung anhand des Graphen, Beispiel
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Lokales und globales Differenzieren, Vorzeichen der Ableitung anhand des Graphen, Beispiel

Kanal: Mathegym
Beispiel 2
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f ´
 
x
=
−
1
3
·
x
3
·
x
+
5
Lösung: Unterteile ℝ gemäß der Nullstellen von f´ (-5 und 0) in Intervalle. Bestimme dann pro Faktor das Vorzeichen in jedem Intervall und daraus das Vorzeichen von f´ in jedem Intervall:
x
<
−
5
<
x
<
0
<
x
−
1
3
−
−
−
x
3
−
−
+
x
+
5
−
+
+
f ´ (x)
−
+
−
Aus der letzten Zeile ergibt sich schließlich, dass f
  • im Intervall [−5;0] streng monoton zunimmt und
  • in den Intervallen ]-∞;−5] und [0;∞[ streng monoton abnimmt.
Bemerkung: Manche Schüler wundern sich darüber, dass die Stellen x=−5 und x=0 eingeschlossen werden. Ihrer Meinung nach müssten sie ausgeschlossen sein, da die Ableitung dort Null ist. Schließlich lautet doch das Monotoniekriterium f´(x)>0⇒f wächst streng monoton. Denkfehler dabei: Das Monotoniekriterium gilt nicht "rückwärts", d.h. eine streng monoton steigende Funktion kann durchaus isolierte Stellen mit f´(x)=0 aufweisen. "Streng Monoton steigend" heißt per Definition: Liegt ein Punkt des Graphen rechts von einem anderen, so liegt er höher als dieser. Da macht es gar nichts, wenn der Graph wie hier bei x=−5 eine waagrechte Tangente hat. Entscheidend ist, dass jeder Graphenpunkt rechts von x=−5 im Intervall [−5;0] höher liegt!
Siehe auch

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