Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert und wie hängt er mit der Steigung m zusammen?
Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.
Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:m=tan(α)
Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.
Beispiel 1
| = |
|
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an
im Punkt P(0,5|?).
G | f |
Zunächst multipliziert man
aus, um die Ableitung nach Regel bilden zu können.
f |
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||
Die Steigung der Tangente ergibt sich dann als
.
f ´ |
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| ||||||||||||||||||||||||
Durch Umstellung der Formel
erhält man schließlich den Steigungswinkel.
m | = |
|
| = |
| einsetzen | |||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||
Beispiel 2
Eine Straße weist eine 39%ige Steigung auf. Berechne den Steigungswinkel.
Lösung:
Stellt man sich die Straße als Abschnitt einer Geraden vor, so hat diese Gerade die Steigung
| = | 0,39. |
m | = |
|
0,39 | = |
|
α | = |
|
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