Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert und wie hängt er mit der Steigung m zusammen?

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
x
2
2
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an 
G
f
 im Punkt P(0,5|?).

Zunächst multipliziert man 
f
 
x
 aus, um die Ableitung nach Regel bilden zu können.
f
 
x
=
x
·
x
2
4x
+
4
=
x
3
4x
2
+
4x
f ´
 
x
=
3x
2
8x
+
4
Die Steigung der Tangente ergibt sich dann als 
f ´
 
0,5
.
m
T
=
f ´
 
0,5
=
3
·
1
2
2
8
·
1
2
+
4
=
0,75
Durch Umstellung der Formel 
m
=
tan
 
α
 erhält man schließlich den Steigungswinkel.
m
T
=
tan
 
α
einsetzen
0,75
=
tan
 
α
tan
1
α
=
tan
1
 
0,75
 
 
36,9°
graphik
Beispiel 2
Eine Straße weist eine 39%ige Steigung auf. Berechne den Steigungswinkel.

Lösung:
Stellt man sich die Straße als Abschnitt einer Geraden vor, so hat diese Gerade die Steigung 
m
=
39%
=
0,39.
m
=
tan
α
0,39
=
tan
α
α
=
tan
1
 
0,39
 
 
21,3°
graphik

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