Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?

Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik

f
 
a
=
a
3
2a
+
1
f ´
 
x
=
3x
2
2
f ´
 
a
=
3a
2
2
Die Tangente 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt 
(
 
a
 
|
 
a
3
2a
+
1
 
)
 hat die Steigung 
3a
2
2.
 Damit kann die Gleichung der Schar bestimmt werden:
T
a
: y
=
3a
2
2
·
x
+
t
Nach Einsetzen der Koordinaten des Berührpunkts erhält man die untere Gleichung, die nach t (y-Achsenabschnitt) aufgelöst werden kann:
y
=
3a
2
2
·
x
+
t
Punktkoordinaten einsetzen
a
3
2a
+
1
=
3a
2
2
·
a
+
t
a
3
2a
+
1
=
3a
3
2a
+
t
3a
3
+
2a
2a
3
+
1
=
t
T
a
: y
=
3a
2
2
·
x
2a
3
+
1
Zur Illustration sind hier drei Tangenten der Schar abgebildet:
graphik

Mathe-Aufgaben zu diesem Thema

Online-Übungen, die du direkt im Browser bearbeiten und lösen kannst! Mit ausführlichen Musterlösungen, professionellen Erklär-Videos und gezielten Hilfestellungen.