Wie bestimmt man die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Graphen?
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:
m = f ´ (x0)
Beispiel 1
| = |
|
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle
x | = |
|
Lösung:
- Steigung der Tangente
| = |
|
| = | 5 |
- y-Achsenabschnitt der Tangente
Gleichung der Tangente T:
y | = |
|
Setze −1 für x und
für y ein (= Punkt, der auf T liegt) und löse dann nach t auf:
| = |
|
| = |
| ||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||
Damit besitzt T die Gleichung
.
|
Lernvideo
Gleichung einer TANGENTE bestimmen – Tangentengleichung aufstellen in einem Punkt
Kanal: MathemaTrick
Beispiel 2
| = |
|
| geht. |
Lösung:
- Q allgemein formulieren und f ' bestimmen
| . |
| = |
|
- Bestimmung von x, Variante 1
Bestimme die Steigung m der Geraden PQ über das Steigungsdreieck und setze dies dann mit f ' (x) gleich:
| = |
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| = |
| ||||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||
- Bestimmung von x, Variante 2
Man kann aber auch so vorgehen, dass man in die Tangentengleichung y = mx + t für m den Term f ' (x) und ansonsten Q einsetzt und nach t auflöst:
| = |
| einsetzen | ||||||||||||||||||||
| = |
|
| ||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||
| : |
| = |
| |||||||
| = |
| |||||||
- Q angeben
Setze also oben in Q den Wert 3 ein:
|
Beispiel 3
| = |
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Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle
x | = | 0,6. |
- Steigung der Tangente
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
|
- y-Achsenabschnitt der Tangente
Gleichung der Tangente T:
y | = |
|
Setze 0,6 für x und
für y ein (= Punkt, der auf T liegt) und löse dann nach t auf:
| = |
|
| = |
| |||||||||||||
| = |
|
| ||||||||||||
| = |
| |||||||||||||
Damit besitzt T die Gleichung
.
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Lernvideo
Tangente an Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion
Kanal: Mathegym Basics
Beispiel 4
| = |
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Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu
g: y | = |
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Lösung:
- Stelle(n) ermitteln
| = |
| ||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||
| = |
|
| |||||||||||
| = |
|
| |||||||||||
| = |
| ||||||||||||
- y-Achsenabschnitte beider Tangenten
Berechnung der zugehörigen y-Werte:
| = |
|
| = |
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Setze in die Gleichung
also die Punkte
und
ein und löse jeweils nach t auf:
y | = |
|
|
|
|
|
| = |
| ||||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||
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| = |
| |||||||||||||||
| = |
|
| ||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||
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Tangentengleichung und Steigungswinkel
Bestimmung des Steigungswinkels einer Tangente/Normalen an einer vorgegebenen Stelle; Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen bzw. mit vorgegebenen Eigenschaften (Steigung, Steigungswinkel); Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht
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