Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Polynomfunktion n-ten Grades anhand gegebener Grapheneigenschaften?

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel 1
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x)
=
?x
2
+
?x
+
?
       1. allgemeine Funktionsgleichung
f(x)
=
ax
2
+
bx
+
c
f'(x)
=
2ax
+
b
       2. Eigenschaften ausnutzen, um drei Gleichungen zu erhalten
I: f(0)=1, da (0|1) ein Punkt auf dem Funktionsgraphen ist
II: f'(0)=0, da an der Stelle x=0 ein Tiefpunkt ist
III: f(2)=9, da P(2|9) Punkt auf dem Funktionsgraphen ist
       3. Werte einsetzen, Gleichungssystem aufstellen:
I:   
 
1
=
a
·
0
2
+
b
·
0
+
c
1
=
c
II:   
 
0
=
2a
·
0
+
b
0
=
b
III:   
 
9
=
a
·
2
2
+
b
·
2
+
c
9
=
4a
+
2b
+
c
       4. Gleichungssystem lösen:
Die Lösungen für b und c lassen sich ablesen: b=0, c=1.
Setzt man dies nun in die dritte Gleichung ein, erhält man a:
9
=
4a
+
2
·
0
+
1
−
1
8
=
4a
:
4
2
=
a
       5. Zusammen ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung:
f(x)
=
2x
2
+
0x
+
1
 
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Beispiel 2
Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?
Lösung: Die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion 4. Grades hat fünf Parameter a, b, c, d und e:
f(x)
=
ax
4
+
bx
3
+
cx
2
+
dx
+
e
Daher werden FÜNF Gleichungen benötigt, um die Parameter a bis e zu ermitteln. Es gilt:
  • Jeder Punkt, der auf dem Funktionsgraphen liegt, liefert mindestens eine Gleichung, denn seine Koordinaten erfüllen die Funktionsgleichung. Beispiel: Liegt P(2|8) auf dem Graphen von f(x), so gilt: f(2)=8
  • Jeder besondere Punkt liefert sogar zwei Gleichungen für das Gleichungssystem, weil die Besonderheit etwas über die erste oder zweite Ableitung an der Stelle aussagt. Beispiel: Ist T(1|5) ein Wendepunkt der Funktion f(x), so gilt: f(1)=5 und f''(1)=0
Die angegebene Information reicht aus, da wir folgende fünf Gleichungen aufstellen können:
f(0)
=
0
da durch den Ursprung
f(2)
=
3
da durch (2|3)
f'(2)
=
0
da Hochpunkt an dieser Stelle
f(4)
=
−
2
da durch (4|-2)
f'(4)
=
0
da Tiefpunkt an dieser Stelle
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