Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?

f bzw G_f	f ´	f ´´
streng monoton zunehmend	positiv
streng monoton abnehmend	negativ
linksgekrümmt	streng monoton zunehmend	positiv
rechtsgekrümmt	streng monoton abnehmend	negativ

Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

Lösung:

\( f(-1) > 0 \) [Graph über x-Achse].
\( f'(-1) = 0 \) [waagrechte Tangente, also keine Steigung (orange)].
\( f''(-1) < 0 \) [Rechtskrümmung (grün)].

Geschätzte Intervalle:

\( f(x) > 0 \) für \( x \in \left]-\infty; 0,2\right[ \)     (d.h. Graph hier oberhalb der x-Achse)
\( f'(x) > 0 \) für \( x \in \left]0,9; \infty\right[ \)     (d.h. Graph hier streng monoton steigend)
\( f''(x) > 0 \) für \( x \in \left]-\infty; -1,3\right[ \)     (d.h. Graph hier linksgekrümmt)

Siehe auch