Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel 1
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
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Lösung
- f '' bestimmen
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- f '' (x) = 0
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| MNF | |||||||||||||||||||||||||||||||
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- Maximale Krümmungsintervalle
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Erläuterung: auf die Vorzeichen der zweiten Ableitung kommt man
- z.B. durch Einsetzen von jeweils einem x-Wert aus jedem der Intervalle in die zweite Ableitung.
- Eleganter ist es, wenn man sich hier den quadratischen Term der zweiten Ableitung als nach oben geöffnete Parabel vorstellt. Dann ist sofort klar: die Parabel ist - von links nach rechts - erst über, dann unter, dann wieder über der x-Achse, daher der Vorzeichenverlauf Plus-Minus-Plus.
Beispiel 2
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Lösung:
- f '' bestimmen
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| = |
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- f ''(x) = 0
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- Maximale Krümmungsintervalle
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