Was versteht man unter Fehlern erster und zweiter Art in der Statistik?

  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ A), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ A), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n = 30
H
0:
 
p ≥ 0,1
    
    
A
=
{2; 3;...; 30}
H
1:
 
p < 0,1
    
    
A
=
{0; 1}

  • Fehler erster Art
Der Fehler erster Art geht davon aus, dass die Nullhypothese zutrifft, daher kann p = 0,1 als Trefferwahrscheinlichkeit verwendet werden. Dass sie (trotzdem) abgeleht wird heißt, dass
Z ∈
 
A
:
α'
=
P
 
Z ∈
 
A
=
P
 
Z ≤ 1
=
=
 
F
30
0,1
 
1
 
 
0,18370 (Tabelle)
  • Fehler zweiter Art
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kann nicht ohne weitere Annahmen bestimmt werden. Was man braucht, ist ein Wert für p. Hier soll p = 0,05 (< 0,1) angenommen werden. Man geht also davon aus, dass die Nullhypothese nicht zutrifft. Dass sie trotzdem nicht abgelehnt wird heißt, dass
Z ∈ A:
β
 
wenn p
=
0,05
=
P
 
Z ∈ A
=
=
 
P
 
Z ≥ 2
=
1
 
 
P
 
Z
 
 
1
 
=
=
1 −
 
F
30
0,05
 
1
0,55354 (Tab)
 
 
0,44646

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