Unter welchen Bedingungen ist eine Funktion an einer Stelle x=a nicht differenzierbar?

Besitzt der Differenzenquotient

[ f(x) − f(a) ] / (x − a)

für x → a (x ≠ a) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.

Beispiel
Ist f an der "Nahtstelle" differenzierbar? Bestimme dazu die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten.
f
 
x
=
x
·
2
−
x
graphik
f
 
x
=
x
·
2
−
x
=
x
·
2
−
x
    
für x ≥ 0
−
x
·
2
−
x
    
für x < 0

  • x < 0 (links von der Nahtstelle)
f
 
x
−
f
 
0
x
−
0
=
−
x
·
2
−
x
−
0
x
=
−
2
−
x
=
x
−
2
   (Differenzenquotient, vereinfacht)
Der linksseite Grenzwert 
x → 0
−
 lautet damit 
−
2
.

  • x > 0 (rechts von der Nahtstelle)
f
 
x
−
f
 
0
x
−
0
=
x
·
2
−
x
−
0
x
=
2
−
x
   (Differenzenquotient, vereinfacht)
Der rechtsseitige Grenzwert 
x → 0
+
 lautet damit 
2
.
Da linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert voneinander abweichen, ist die Funktion f an der Nahtstelle nicht differenzierbar.
Hinweis: bereits der abgebildete Graph legte diese Vermutung nahe, da er an der Stelle 
x
=
0
 einen Knick aufweist. Streng genommen lässt sich aber aus dem Aussehen des Graphen keine Aussage über die Differenzierbarkeit ableiten, da sich ein vermeintlicher Knick bei größerer Auflösung auch als abgerundet herausstellen kann.
Lokales und globales Differenzieren, abschnittsweise definierte Funktion, Beispiel
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Lokales und globales Differenzieren, abschnittsweise definierte Funktion, Beispiel

Kanal: Mathegym
Siehe auch

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