Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?

Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel 1
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Lösung: Betrachte die drei Seiten des Dreiecks als Vektoren. Wenn zwei dieser Vektoren senkrecht zueinander stehen, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
graphik
AB
=
B
A
=
2
14
4
 
     
 
AC
=
C
A
=
2
12
2
 
     
 
BC
=
C
B
=
0
2
2
AB
 
 
AC
=
4
+
168
+
8
=
180
AB
 
 
BC
=
0
28
8
=
36
AC
 
 
BC
=
0
24
4
=
28
In keinem Fall ergibt sich der Wert Null, also handelt es sich um kein rechtwinkliges Dreieck.
Beispiel 2

Bestimme k so, dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind.

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Lösung:

Damit beide Vektoren senkrecht zueinander sind, muss das Skalarprodukt 0 sein:

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} = 6 + 4k - 30 \] \[ \begin{align*} 6 + 4k - 30 &= 0 \\ -24 + 4k &= 0 &|& \quad +24 \\ 4k &= 24 &|& \quad \div 4 \\ k &= 6 \end{align*} \]

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