Was besagt der Satz des Thales und was ist ein Thaleskreis?

Satz des Thales:

Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].

Beispiel 1

Welche der folgenden Dreiecke sind rechtwinklig?

Lösung:

Figur links

Δ ABC ist rechtwinklig, da C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.
Δ BAD ist bei D nicht rechtwinklig, da D nicht auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.

Figur mitte

Δ ABC könnte bei C rechtwinklig sein - und zwar dann, wenn C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.

Bemerkung: der abgebildete Kreis ist nicht der Thaleskreis über [AB], weil er nicht durch A und B geht. Dass er zufällig durch C geht, tut nichts zur Sache.

Figur rechts

Δ CAB könnte bei B rechtwinklig sein - und zwar dann, wenn [CA] durch den Mittelpunkt des Kreises geht; dann wäre der Kreis nämlich der Thaleskreis über [CA].

Lernvideo

Thaleskreis, Beispiel

Kanal: Mathegym2

Beispiel 2

Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.

Lösung: Auf dem Thaleskreis über a liegen alle Punkte, von denen aus a unter einem rechten Winkel erscheint. Auf dem Thaleskreis über b liegen alle Punkte, von denen aus b unter einem rechten Winkel erscheint. Die Schnittpunkte beider Thalskreise (R und S) sind damit die Lösung. Zum besseren Verständnis ist bei R der rechte Winkel durch die orangen Linien verdeutlicht: