Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

• Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
• Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
• Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).

Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

• \( P \) als Aufhängepunkt und
• den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.

Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

• \( P \) als Aufhängepunkt und
• den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

• Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \): Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
• Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \): Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
• Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \): Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
• Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \): Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.