Wie wandelt man die Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?

Gegeben ist eine Koordinatengleichung einer Ebene:

\[ a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0 \]

Vorgehen zum Umformen in die Parametergleichung

  1. Aufpunkt bestimmen:
    Gesucht ist ein beliebiger Punkt \( P \) der Ebene.

    Tipp: Man kann zwei Koordinaten (z.B. \( x_1 \) und \( x_2 \)) gleich 0 setzen und die dritte mithilfe der Gleichung bestimmen.


  2. Normalenvektor ablesen: \[ \vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \]

  3. Richtungsvektoren bestimmen:
    Gesucht sind zwei linear unabhängige Vektoren \( \vec{v} \) mit \[ \vec{n}\circ\vec{v}=0 \] also Lösungen der Gleichung \[ a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \]

    Tipp: Man kann eine Koordinate (z.B. \( v_3 \)) gleich 0 setzen und die beiden anderen mithilfe der Gleichung bestimmen. Für den zweiten Richtungsvektor wählt man eine andere Koordinate als 0.


  4. Parametergleichung aufstellen: \[ E: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot \vec{v_1}+s\cdot \vec{v_2} \]
Beispiel
Gib eine Parametergleichung zu der folgenden Koordinatengleichung einer Ebene an:

\(E: 5x_1-1x_2+17x_3-2=0\)

  1. Aufpunkt bestimmen: \[ \begin{aligned} E: 5\cdot \colorbox{yellow}{0} -1\cdot \colorbox{yellow}{ ? } +17\cdot \colorbox{yellow}{0} -2&=0\\[10pt] E: 5\cdot 0 -1\cdot \colorbox{yellow}{\((- 2)\)} +17\cdot 0 -2&=0\\[15pt] \\[10pt] \end{aligned} \]
  2. Normalenvektor ablesen: \[ \vec{n}=\begin{pmatrix}5\\ -1\\ 17\end{pmatrix} \]
  3. Richtungsvektoren bestimmen: \[ \begin{pmatrix}5\\ -1\\ 17\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix} = 0 \] \[ 5 \cdot v_1 - 1 \cdot v_2 + 17 \cdot v_3 = 0 \] Zum Beispiel:
    \(x_3 \text{-Koordinate}\) null setzen und die anderen beiden passend wählen: \[ \begin{pmatrix}5\\ -1\\ 17\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}\colorbox{Green}{1}\\ \colorbox{Green}{5}\\ \colorbox{Green}{0}\end{pmatrix} = 0 \] \(x_1 \text{-Koordinate}\) null setzen und die anderen beiden passend wählen: \[ \begin{pmatrix} 5\\-1\\ 17\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}\colorbox{Grey}{0}\\ \colorbox{Grey}{17}\\ \colorbox{Grey}{1}\end{pmatrix} = 0 \]
  4. Parametergleichung aufstellen: \[ E: \;\vec{x} =\begin{pmatrix}\colorbox{yellow}{0}\\ \colorbox{yellow}{-2}\\ \colorbox{yellow}{0}\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}\colorbox{Green}{1}\\ \colorbox{Green}{5}\\ \colorbox{Green}{0}\end{pmatrix}+ t \cdot\begin{pmatrix} \colorbox{Grey}{0}\\ \colorbox{Grey}{17}\\ \colorbox{Grey}{1}\end{pmatrix} \]