Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt - graphisch/abstrakt, Matheaufgaben

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten. - 14 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Thema

    Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

    f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

    f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

    Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

    VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

    VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

    kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 3
  • Sei f eine in ganz IR zweimal differenzierbare Funktion. Entscheide aufgrund der gegebenen Informationen, welche Aussage für f bzw. Gf an den Stellen x = a, x = b und x = c jeweils zutrifft. Legende: "+/-" bedeutet "positiver/negativer Wert", "VZW" steht für "Nullstelle mit Vorzeichenwechsel".
    • x
    a
    b
    c
    f ´ (x)
    0
    −
    1
    f ´´(x)
    −
    VZW
    VZW
    Relatives Minimum bei x
    =
    a
    Terrassenpunkt bei x
    =
    b
    Wendepunkt bei x
    =
    c
     
         
     
     
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
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Stoff zum Thema
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

graphik
Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

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