Ableitung und Monotonie, Matheaufgaben

Bestimmung von Monotonieintervallen anhand des Graphen und mit Hilfe der ersten Ableitung

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Was bedeutet "streng monoton steigend/fallend" bei Funktionen?

#1135

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton steigend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)<f(b).

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton fallend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)>f(b).

Mit Monotonieintervall ist jeweils das größtmögliche Intervall innerhalb von D_f gemeint, in dem eine strenge Monotonie vorliegt.

Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?

#400

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x)	f bzw. G_f
> 0	streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0	streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0	waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel

Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.

f ´

−