BMT 10 - 2022, Matheübungen

- BMT- und Abituraufgaben - 16 Aufgaben in 16 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 1 in Level 16
  • Aufgabe 7 (2 Punkte)
    • Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit drei Halbkreisen, die jeweils eine der Dreiecksseiten als Durchmesser haben. 
    Begründen Sie mithilfe einer Rechnung, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden kleineren Halbkreise gleich dem Flächeninhalt des größeren Halbkreises ist. 
    Im Originaltest sollst du die Begründung durch Rechnung selbst erstellen. Überlege dir eine, bevor du unten die Lücken ausfüllst, indem du die einzelnen Terme für die Flächeninhalte aufstellst, vereinfachst und dann die Summe bildest! Brüche werden in der Form a/b eingegeben, Potenzen in der Form a^n. Scrolle beim Ausfüllen nur bis zur aktuellen Lücke und lies nicht schon den gesamten Text durch.
    graphik
    Den Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius r berechnet man allgemein mithilfe der Formel 
    ·
    π
    ·
    2
    .
    Der Halbkreis über der Dreiecksseite c hat den Radius . Für den zugehörigen Halbkreis ergibt sich somit nach vollständiger Vereinfachung der Flächeninhalt 
    ·
    π
    ·
    c
    2
    . 
    Analog erhält man für die beiden anderen Halbkreise die Flächeninhalte 
    ·
    π
    ·
    a
    2
     und 
    ·
    π
    ·
    b
    2
    .
    Bildet man die Summe der Flächeninhalt der beiden kleineren Halbkreise, ergibt sich nach dem Ausklammern:
    1
    8
    ·
    π
    ·
    +
    Anstelle der Klammer kann man mit dem Satz von Pythagoras auch einfach schreiben. Somit ist die Aussage bewiesen.
  • keine Berechtigung
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