Exponentielles Wachstum - Anwendungen, Matheaufgaben

Exponentielles Wachstum im Sachzusammenhang, Sachaufgaben

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 1341.
  • Exponentielles Wachstum:
    Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.

    • B(n) gesucht:
      • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
      B(n) = B(0) · kn

    • n gesucht:
      • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
      B(n) = B(0) · kn | : B(0)
      B(n) / B(0) = kn | log
      log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
      log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
      n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

    • B(0) gesucht:
      • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
      B(n) = B(0) · kn | : kn
      B(0) = B(n) / kn

    • k gesucht:
      Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
      B(n) = B(0) · kn | : B(0)
      B(n) / B(0) = kn
      Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Berechne. Runde sinnvoll, passend zum Antwortsatz.

  • Bei Alinas Geburt legen ihre Eltern für sie 1000 € auf einem Sparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 1,5% an.
    Auf welchen Betrag wird das Kapital bis zu ihrem 18. Geburtstag anwachsen?
    Kapital auf dem Sparbuch an Alinas 18. Geburtstag:
     
    Euro
     
     
    Cent
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Wie hängen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum zusammen?
#345
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
  1. bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
  2. bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
  3. bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Wie beschreibt man die Änderung des Bestandes bei einem Wachstumsvorgang von einem Zeitschritt zum nächsten?
#719
Bei einem Wachstumsvorgang kann man die Änderung des Bestandes von einem Zeitschritt n auf den nächsten auf zwei Arten beschreiben.
1. absolute Änderung: B(n+1) – B(n)
2. relative (prozentuale Änderung): (B(n+1) – B(n)) / B(n)
Beispiel
2010 lebten in Berlin 3.460.725 Menschen, 2011 waren es 3.326.002. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3.375.222.
Berechne jeweils die absolute und die relative Änderung.
Runde, falls nötig, auf die zweite Nachkommastelle.
von 2010 nach 2011
von 2011 nach 2012
absolute Änderung
?
?
relative Änderung (in %)
?
?

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