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Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung, Matheübungen
Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Substitution - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)
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Ausklammern.
Beispielaufgabe
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also
f(x) = p(x) · q(x) [evtl. noch mehr Faktoren],
so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Gib alle Nullstellen an. Falls es weniger Nullstellen als Felder gibt, fülle die restlichen mit "!" aus. Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" einzugeben.
Zwischenschritte aktivieren
f(x)
=
x
−
1
·
1
2
x
3
−
2x
;
;
±
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
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Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)
Kanal: Mathegym
Was ist der Vorteil eines faktorisierten Funktionsterms?
#485
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also
f(x) = p(x) · q(x) [evtl. noch mehr Faktoren],
so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
. Ermittle alle Nullstellen.
Wie kann ein quadratischer Term faktorisiert werden?
#319
Ein quadratischer Term
(q · x² + r · x + s)
kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B.
x + 2
) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in
q · (x − a) · (x − b)
.
Eine Lösung a: der Term zerfällt in
q · (x − a)²
.
Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
−
2x
2
+
3x
+
2
b
−
3x
2
+
x
−
5
Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?
#486
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine
Substitution
vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (
Re- / Rücksubstitution
).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
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