Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung, Mathe-Übungen

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Substitution - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Wenn deine Lösung hier "nicht vorkommt", musst du sie vermutlich nur noch ein wenig abwandeln - z.B. durch Ausklammern, etwa 2(x − ½) statt (2x − 1)

Faktorisiere so weit wie möglich. Stelle dann das passende Produkt aus den vorgegebenen Faktoren zusammen.

  • 12x
    3
    −
    3x
    −
    3
     
       
     
    12
    x
     
       
     
    x
    2
     
       
    x
    3
    x
    −
    1
    2
     
       
     
    x
    −
    1
    2
    2
    x
    +
    1
    2
     
       
     
    x
    +
    1
    2
    2
    x
    +
    2
     
       
     
    x
    +
    2
    2
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Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)
Lernvideo

Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)

Kanal: Mathegym
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0