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Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung, Mathe-Übungen
Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Substitution - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)
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Bestimme die Nullstellen der Funktion durch Ausklammern. Gib die Nullstellen in aufsteigender Reihenfolge an. Trage "!" in übrig bleibende Felder ein.
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f(x)
=
x
4
+
2x
3
−
35x
2
Nullstellen:
x
1
=
x
2
=
x
3
=
x
4
=
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+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
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Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)
Kanal: Mathegym
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also
f(x) = p(x) · q(x) [evtl. noch mehr Faktoren],
so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
. Ermittle alle Nullstellen.
Ein quadratischer Term
(q · x² + r · x + s)
kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B.
x + 2
) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in
q · (x − a) · (x − b)
.
Eine Lösung a: der Term zerfällt in
q · (x − a)²
.
Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
−
2x
2
+
3x
+
2
b
−
3x
2
+
x
−
5
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine
Substitution
vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (
Re- / Rücksubstitution
).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
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