Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung, Matheübungen

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Substitution - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Faktorisiere zunächst den linken Term der Gleichung. Dazu benötigt man die binomischen Formeln. Verwende den Satz vom Nullprodukt

Löse die Gleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein. Die kleinste zuerst. Falls die Gleichung weniger als drei Lösungen hat, gib jeweils ! in der letzten Zeile ein.

  • x
    3
    −
    6x
    2
    +
    9x
    =
    0
    x
    1
    =
     
    (kleinste Lösung) mit Vielfachheit
     
    x
    2
    =
     
    mit Vielfachheit
     
    x
    3
    =
     
    mit Vielfachheit
     
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Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)
Lernvideo

Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)

Kanal: Mathegym
Was ist der Vorteil eines faktorisierten Funktionsterms?
#485
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Wie kann ein quadratischer Term faktorisiert werden?
#319
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?
#486
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0